Bài toán ngày sinh nhật (kỳ 3)

Bài toán 1. An sinh ngày 30 tháng 4 năm 1975. Biết ngày 30 tháng 4 năm 2016 là thứ bảy.

a) Hỏi An sinh vào thứ mấy?
b) Hỏi năm nào gần nhất sau năm 2016 mà ngày 30 tháng 4 cũng là thứ bảy?
Giải. a) Giữa hai năm không nhuận cách nhau 365 ngày, hai ngày 30 tháng 4 hơn kém nhau một thứ.
Giữa hai năm nhuận cách nhau 366 ngày, hai ngày 30 tháng 4 hơn kém nhau hai thứ.
Suy ra cứ sau 4 năm, hai ngày 30 tháng 4 hơn kém nhau 1 + 1 + 1 + 2 = 5 (thứ).
Ta có 2016 – 1975 = 41, 41 : 4 = 10 dư 1.
Suy ra ngày 30 tháng 4 năm 1976 (cách ngày 30 tháng 4 năm 2016 là 40 năm), kém ngày 30 tháng năm 2016 là 10 × 5 = 50 thứ.
Ta có 50 : 7 dư 1.
Do đó ngày 30 tháng 4 năm 1976 là thứ sáu.
Vì năm 1976 là năm nhuận nên ngày 30 tháng 4 năm 1975 là thứ tư (trước thứ sáu hai thứ).
b) Vì năm 2020 là năm nhuận nên ngày 30 tháng 4 các năm tiếp theo sau năm 2016 là các thứ: chủ nhật (2017), hai (2018), ba (2019), năm (2020), sáu (2021), bảy (2022).
Vậy gần nhất là năm 2022, ngày 30 tháng 4 sẽ là thứ bảy.

Bài toán 2. Năm thành viên một câu lạc bộ toán học có ngày sinh khác nhau. Biết trong năm 2016, cả năm người cùng có sinh nhật vào ngày thứ hai trong tháng hai.

a) Tìm ngày sinh của năm người?
b) Hỏi năm nào gần nhất sau năm 2016, cả năm người cùng có sinh nhật? Tìm thứ của những ngày sinh nhật đó.
Giải. a) Năm 2016 là năm nhuận, tháng hai có 29 ngày.
Ta có 29 = 4 × 7 + 1.
Vậy sinh nhật của 5 người là các ngày 1, 8, 15, 22, 29 tháng hai.
b) Sau năm 2016, năm nhuận tiếp theo là 2016 + 4 = 2020.
Vậy năm tiếp theo gần nhất sau năm 2016 là năm 2020, cả năm người cùng có sinh nhật.
Ngày 1 tháng 2 năm 2017, 2018, 2019, 2020 theo thứ tự có thứ là: tư, năm, sáu, bảy.
Vậy năm 2020, cả năm người cùng sinh nhật vào thứ bảy.

Bài toán 3. Ngày 19 tháng 5 năm 1890 là thứ hai, là ngày sinh của Bác Hồ. Hỏi ngày 19 tháng 5 năm 1969 là thứ mấy?

Giải. Ta có 1969 - 1890 = 79, 79 : 4 = 19 dư 3, 1969 - 3 = 1966.
 Cứ sau 4 năm, nếu trong đó có một năm nhuận thì hai ngày sinh nhật cách nhau 5 thứ, còn nếu không có năm nhuận nào thì cách nhau 4 thứ.
Ta thấy 1900 chia hết cho 100 nhưng không chia hết cho 400. Do đó năm 1900 không là năm nhuận.
Suy ra trong 19 lần 4 năm, có 18 lần hai ngày sinh nhật cách nhau 4 năm sẽ hơn nhau 5 thứ và 1 lần hơn nhau 4 thứ.
Ta có 18 × 5 + 4 = 94, 94 : 7 dư 3.
Suy ra ngày 19 tháng 5 năm 1966 là thứ năm (hơn 3 thứ so với ngày 19 tháng 5 năm 1890).
Vì năm 1968 là năm nhuận nên ngày 19 tháng 5 các năm 1967, 1968, 1969 lần lượt là các thứ: sáu, chủ nhật, thứ hai.
Vậy ngày 19 tháng 5 năm 1969 là thứ hai.
Kết quả kỳ trước. Ngày 30 tháng 4 năm 2016 là thứ bảy. Suy ra ngày 30 tháng 4 năm 2017 là chủ nhật. Vậy Việt sẽ được tặng hoa vào ngày 30 tháng 4. Trao giải 50.000đồng/người cho bạn Trương Minh Sơn (lớp 6A9, THCS Nghĩa Tân).
Kỳ này. Ngày 19 tháng 5 năm 1990 là thứ mấy?

Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.