Bài toán ngày sinh (Kỳ 4)

a) Hỏi sinh nhật của Bình trong năm 2017 có thể là thứ mấy?
b) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, Bình lại có sinh nhật vào thứ hai?

Giải.
a) Có 3 khả năng xảy ra:
TH1. Nếu Bình sinh vào tháng 1 hoặc tháng 2 (trừ ngày 29 tháng 2) thì năm 2017, Bình sẽ sinh vào thứ tư (hơn 2 thứ vì 2016 là năm nhuận nên ngày sinh nhật năm sau sẽ cách năm trước 366 ngày, 366 : 7 dư 2).
TH2. Nếu Bình sinh vào các tháng từ ba đến mười hai thì năm 2017, Bình sẽ sinh nhật vào thứ ba (hơn 1 thứ vì 2017 là năm không nhuận nên ngày sinh năm
sau sẽ cách năm trước 365 ngày, 365 : 7 dư 1).
TH3. Nếu Bình sinh ngày 29 tháng 2 thì năm 2017 Bình sẽ không có sinh nhật.

b) Ta xét ba trường hợp theo thứ tự trên.
TH1. Sinh nhật của Bình các năm tiếp theo 2017, 2018,... theo thứ tự vào các thứ: tư, năm, sáu, bảy, hai. 
TH2. Sinh nhật của Bình các năm tiếp theo 2017, 2018,... theo thứ tự vào các thứ: ba, tư, năm, bảy, chủ nhật, hai. 
TH3. Cứ sau 4 năm, Bình mới có sinh nhật ngày 29 tháng 2 và lần sinh nhật sau sẽ hơn 5 thứ (hoặc kém 2 thứ) so với lần sinh nhật trước (vì 1 + 1 + 1 + 2 = 5 hoặc 7 – 5 = 2).
Sinh nhật của Bình các năm tiếp theo 2020, 2024,... theo thứ tự vào các thứ: bảy, năm, ba, chủ nhật, sáu, bốn, hai.
Ta có 7 × 4 = 28.
Đáp số: a) Thứ tư, thứ ba hoặc không có; b) 5 năm, 6 năm hoặc
28 năm.

Bài toán 2. Một câu lạc bộ toán có 12 người cùng sinh vào ngày 1 ở 12 tháng khác nhau. Hỏi trong một năm, có thể có những nhóm người sinh vào tháng nào có sinh nhật cùng thứ?

Giải.
Những tháng có 30 ngày (như tháng 4, 6, 9, 11) thì sinh nhật ngày 1 của tháng sau hơn tháng trước 2 thứ (vì 30 : 7 dư 2).
Tương tự, những tháng có 31 ngày (như tháng 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12), 28 ngày (tháng 2 năm không nhuận) hoặc 29 ngày (tháng 2 năm nhuận) thì sinh nhật ngày 1 tháng sau hơn tháng trước tương ứng là
3 thứ (vì 31 : 7 dư 3), cùng thứ
(vì 28 chia hết cho 7) hoặc 1 thứ (vì 29 : 7 dư 1).
Ta xét 2 khả năng:
TH1. Nếu năm đó là năm không nhuận. Ta chọn một năm bất kỳ. Chẳng hạn như năm 2017 thì thứ những ngày sinh của 12 người theo thứ tự từ tháng 1 là: chủ nhật (tháng 1), tư (tháng 2, vì tháng 1 có 31 ngày, hơn 3 thứ), tư (tháng 3, vì tháng 2 có 28 ngày, cùng thứ), bảy (tháng 4, vì tháng 3 có 31 ngày), hai (tháng 5, vì tháng 4 có 30 ngày, hơn 2 thứ), năm (tháng 6), bảy (tháng 7), ba (tháng 8), sáu (tháng 9), chủ nhật (tháng 10), tư (tháng 11), sáu (tháng 12). 
Ta có các nhóm có sinh nhật ngày 1 ở các tháng cùng thứ là: (1, 10), (2, 3, 11), (4, 7), (9, 12). (Kỳ sau đăng tiếp)

Kết quả kỳ trước. Ngày 19 tháng 5 năm 1966 là thứ năm.
Ta có 1990 – 1966 = 24, 24 : 4 = 6 không dư, 6 × 5 = 30, 30 : 7 dư 2.
Vậy ngày 19 tháng 5 năm 1990 là thứ bảy (hơn hai thứ so với ngày 19 tháng 5 năm 1966).
Kỳ này. Hai người cùng sinh nhật vào ngày 2 của hai tháng khác nhau và luôn có sinh nhật cùng thứ trong các năm khác nhau. Hỏi họ sinh vào tháng mấy? Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.