Toán tổ hợp

Bài toán 1. Qua kỳ nghỉ hè, bốn bạn học sinh gặp lại nhau. Mừng rỡ, các bạn đã bắt tay nhau. Biết hai bạn bất kỳ đều bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

Bài toán 2. Trong giờ thực hành, ba bạn An, Bình, Nam được cô giáo giao cho mang ba dụng cụ khác nhau từ phòng dụng cụ đến phòng thí nghiệm. Biết mỗi bạn chỉ mang được một dụng cụ. Hỏi có bao nhiêu cách mang dụng cụ đến phòng thí nghiệm?

Bài toán 3. Có bao nhiêu số có ba chữ số mà các chữ số chỉ là 4 hoặc 6?

Bài toán 4. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau mà các chữ số chỉ là 1, 2, 3, 4 hoặc 5?

Bài toán 5. Có bao cách xếp 4 người thành hàng ngang để chụp ảnh?

Bài toán 6. Đầu năm học, tổ I của lớp 4A gồm tám bạn chọn ra hai bạn đưa vào danh sách bầu cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài toán 7. Đầu năm học, lớp 5A gồm 40 học sinh tổ chức bầu ra một lớp trưởng và hai lớp phó, một lớp phó học tập, một lớp phó văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài toán 8. Nghỉ hè, ba người cháu nội và ngoại của ông Bắc là Tùng, Hà và Hằng được về thăm ông. Vừa lúc đó, ông có 5 cái kẹo, đem chia cho các cháu, mỗi cháu ít nhất một chiếc. Hỏi ông có bao nhiêu cách chia?

Các bài toán trên là những dạng toán khác nhau của toán tổ hợp, một ngành của toán rời rạc. Một trong những mảng của toán tổ hợp được nghiên cứu sớm nhất là lý thuyết đồ thị với kết quả đầu tiên là bài toán Bảy cây cầu của Leonhard Euler năm 1736. Chỉ riêng lý thuyết đồ thị cũng đã có nhiều đóng góp cho thực tiễn cũng như trong toán học. Tiêu biểu như Bài toán bốn màu: chỉ dùng bốn màu khác nhau để tô màu cho một bản đồ bất kỳ sao cho hai quốc gia có chung đường biên giới thì không cùng màu. Các em hãy lấy bản đồ ra để quan sát xem đúng không nhé. Bài toán Tìm đường đi ngắn nhất cũng rất được chú ý. Tuy vậy, những kết quả chủ yếu của toán tổ hợp thì phần lớn được nghiên cứu kỹ vào cuối thế kỷ XX, từ khi khoa học máy tính phát triển mạnh.

Thế thì toán tổ hợp là gì? Quan sát 8 bài toán trên, chúng ta có thể hình dung đó là một ngành của toán nghiên cứu sự kết hợp của một số đối tượng trong một nhóm đối tượng hữu hạn. Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác như đại số, lý thuyết xác suất, hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lý thống kê.

Bây giờ, ta cùng giải các bài toán trên.

Bài toán 1. Vì mỗi bạn bắt tay 3 lần nên 4 bạn bắt tay 3 x 4 = 12 lần. Mà mỗi cái bắt tay được tính 2 lần (cho cả hai bạn) nên có 12 : 2 = 6 (cái bắt tay).

Bài toán 2. Giả sử khi mang thiết bị, bạn An lấy đầu tiên, kế đến là bạn Bình rồi đến bạn Nam. Như thế An có 3 cách chọn, Bình có 2 cách chọn, Nam có 1 cách chọn. Vậy có 3 x 2 x 1 = 6 (cách mang).

Bài toán 3. Vì mỗi chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị đều có 2 cách chọn nên có 2 x 2 x 2 = 8 (số có ba chữ số).

Bài toán 4. Chữ số hàng trăm có 5 cách chọn là lấy bất kỳ một trong năm số 1, 2, 3, 4, 5. Sau đó chữ số hàng chục có 4 cách chọn (khác chữ số hàng trăm). Chữ số hàng đơn vị còn 3 cách chọn. Vậy có 5 x 4 x 3 = 60 (số có ba chữ số).

Bài toán 5. Đáp số 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (cách).

Bài toán 6. Đáp số 8 x 7 : 2 = 28 (cách).

Bài toán 7. Đáp số 40 x 39 x 38 = 59280 (cách).

Dành cho các bạn học sinh. Ta thấy ở bài toán 8, ông Bắc có thể chia cho Tùng 3 chiếc kẹo, còn Hà và Hằng mỗi cháu 1 chiếc. Nhưng ông cũng có thể chia theo nhiều cách khác nữa. Em hãy tìm đáp số cho bài toán này.

Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, Tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi “Học mà chơi - chơi mà học” của Báo Hànộimới.

Giải bài kỳ trước: Nếu tính theo đường bộ từ cột km số 0 của Nam Định đến cột km số 0 của Vinh thì là 226km. Phần thưởng kỳ này tặng cho bạn: Khúc Khánh Quân, 6H2, THCS Trưng Vương, quận Hoàn Kiếm.