Toán học - học mà chơi: Ma phương

Trường hợp đơn giản nhất của ma phương là n = 1, chỉ có một ô vuông được điền số 1. Không có ma phương ứng với n = 2. Với n = 3, ta thấy tổng 9 số trong bảng là 1 + 2 +... + 9 = 9 (9 + 1) : 2 = 45. Như thế tổng 3 số của mỗi hàng (hay mỗi cột, mỗi đường chéo) là 45 : 3 = 15. Hình vẽ dưới là đồ hình của Hà đồ, một trong những ma phương được tìm thấy sớm nhất trong lịch sử của loài người:

Ma phương Hà đồ mang những bí ẩn còn tranh luận về lịch sử hình thành cũng như nguồn gốc văn hóa.

Từ ma phương ban đầu 3 x 3 ở trên, ta có thể lấy đối xứng các cặp số qua hình vuông trung tâm để có các ma phương khác.

Với n = 4, ta thấy tổng 16 số trong bảng là 1 + 2 + ... + 16 = 16(16 + 1) : 2 = 136. Tổng 4 số của mỗi hàng là 136 : 4 = 34. Dưới đây là một ma phương cạnh 4 do Albrech Durer, một họa sỹ trứ danh người Đức tìm ra năm 1514:

Trong trường hợp tổng quát, với ma phương cạnh n thì tổng các số trong bảng là 1 + 2 + ... + n^2 = n^2(n^2+ 1) : 2. Do đó tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột hay mỗi đường chéo là n(n^2 + 1) : 2.

Trong toán học, ma phương được dùng chủ yếu để giải trí trong các câu lạc bộ hay bài tập đố vui. Đây là một trò chơi kích thích sự phát triển tư duy, trí tuệ. Tuy vậy, ta cũng có thể đưa ma phương vào bài thi ở TH và THCS bằng cách: Từ một ma phương cho trước, giáo viên có thể xóa bớt một số ô rồi yêu cầu học sinh điền số vào những ô còn trống. Việc tìm ra những ma phương cạnh n, với n càng lớn, cũng như tìm đủ số ma phương (ứng với số cạnh n tương ứng đó) là một thách thức không chỉ với những người làm toán nghiệp dư mà cả với những nhà toán học.

Từ rất lâu đời, việc tìm ra những ma phương luôn là niềm đam mê của nhiều thế hệ. Ta biết rằng với mỗi hình vuông có cạnh n thì có (n^2)! cách điền số vào hình vuông (với m! = 1 x 2 x 3 x... x m). Chỉ cần kiểm tra tất cả các hình vuông này ta sẽ tìm đủ số ma phương tương ứng của n. Không biết bằng cách nào mà năm 1693, Bernard Frenicle de Bessy, một nhà toán học người Pháp công bố đã tìm được 880 ma phương cạnh 4, không tính những ma phương có được do quay, phản xạ hay đối xứng của những ma phương ban đầu.

Cùng niềm đam mê, Benjamin Franklin một nhà khoa học, một nhà phát minh, một chính khách, một trong những người lập quốc của nước Mỹ cũng tìm được một ma phương cạnh 8. Giáo sư toán học John H. Conway của Đại học Princeton, Mỹ, đã tìm ra một thuật toán để tìm được một ma phương với số cạnh bất kỳ trong tác phẩm Winning Ways xuất bản năm 1982. Đánh giá về ma phương, Allan Adler, một nhà toán học có nhiều nghiên cứu về ma phương đã nhận định rằng ma phương có thể sử dụng để minh họa các khái niệm cơ bản của Số học như phân tích số tự nhiên ra thừa số nguyên tố.

Trở lại với ma phương Hà đồ, người ta biết đến nó đồng thời với đồ hình Lạc thư, một hình vuông 3 x 3 được điền tương tự như Hà đồ, riêng ô ở giữa được điền thêm số 10 đậm. Ở đây, cả Hà đồ và Lạc thư đều không viết số mà là những vòng tròn nhỏ mang hai màu đen (ứng với số đậm) và trắng. Như thế, tổng số vòng đen và trắng ở hai đồ hình này đều bằng 50, trùng khớp với thuyết Con rồng cháu tiên của Việt Nam.

Dành cho các bạn học sinh. Hãy tìm một ma phương cạnh 3. Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, Tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi "Học mà chơi - chơi mà học" của Báo Hànộimới.

Giải bài kỳ trước. Vài bài toán về số tự nhiên.
2.b) 90 = 21 + 22 + 23 +24;
c) 90 = 16 + 17 + 18 + 19 + 20.

Phần thưởng kỳ này tặng cho những bạn: Phạm Việt Hà, Nguyễn Nam Anh, lớp 8, Trường Hà Nội - Amsterdam.