Từ diện tích đến tam giác Pythagore

Diện tích một hình phụ thuộc vào kích thước của hình đó. Đơn vị của diện tích trong hệ SI thường là centimét vuông (cm2), mét vuông (m2), héc ta (ha), kilômét vuông (km2). Ở Việt Nam có đơn vị thước, sào, mẫu. Ở Anh, Mỹ, Canada và một số vùng trên thế giới lại sử dụng đơn vị đo diện tích là mẫu Anh, dặm vuông Anh hoặc bộ vuông (Ft2).

Yêu cầu đo diện tích của một hình đã có từ xa xưa, do nhu cầu chia ruộng đất. Dù sử dụng đơn vị đo nào thì bao giờ diện tích cần đo cũng được tính theo một đơn vị diện tích là một hình vuông. Ta biết rằng diện tích hình vuông được tính bởi công thức tích số đo cạnh nhân với chính nó. Từ công thức này, người ta tìm cách tính diện tích một số hình cơ bản như hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang... rồi đến những hình phức tạp hơn. Chẳng hạn, để tính diện tích hình chữ nhật, ta chia nó thành nhiều hình vuông nhỏ, để tính diện tích hình tam giác, ta tính theo diện tích hình chữ nhật chứa hình tam giác đó.

Bây giờ ta xét các tam giác vuông. Dựng ba hình vuông có cạnh bằng bằng cạnh của hình vuông. Từ cách đây gần 3000 năm, trong các tài liệu toán học cổ của La Mã, Trung Quốc và Babylon đã từng khẳng định diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông. Pythagore, một nhà toán học người Hy Lạp sống ở thế kỷ VI trước Công nguyên là người đầu tiên phát biểu và chứng minh một cách tổng quát định lý này. Sau này, người ta lấy tên ông đặt cho định lý này. Trong mấy nghìn năm, đã có hàng trăm cách chứng minh định lý Pythagore, bằng nhiều cách khác nhau như cắt ghép hình, dùng đại số... Hình vẽ bên nêu một cách chứng minh bằng cắt và ghép hình.

Trong hình vẽ ta thấy ba cạnh của tam giác vuông là 3, 4, 5. Ta thấy 3 x 3 + 4 x 4 = 5 x 5. Ta được một bộ ba cạnh của tam giác vuông là những số đếm (3, 4, 5). Người ta gọi đây là một bộ ba Pythagore. Có vô số bộ ba Pythagore. Chẳng hạn (3 x k, 4 x k, 5 x k), với k là một số đếm bất kỳ. Do vậy, để tìm hiểu về những bộ số này, người ta chỉ xét các bộ ba số (a, b, c) mà hai số bất kỳ trong chúng không cùng chia hết cho một số đếm nào, gọi là bộ nguyên thủy. Khi đó trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 3, cho 4, cho 5. Euclid đã viết trong cuốn Cơ sở công thức tính 3 cạnh của tam giác Pythagore như sau:

a = m x m - n x n, b = 2 x m x n,

c = m x m + n x n, với m, n là hai số đếm không cùng chia hết cho một số đếm nào và trong 2 số có một số chẵn, 1 số lẻ. Ví dụ với m = 2, n = 1 ta được bộ (3, 4, 5) hay m = 3, n = 2 ta được bộ (5, 12, 13).

Kết quả kỳ trước. J.Bolyai biết tất cả 9 ngoại ngữ. Phần thưởng 50.000 đồng/người kỳ này trao cho bạn Nguyễn Minh Ngọc, lớp 7, THCS Trưng Vương.

Kỳ này. Tìm bộ ba Pythagore nguyên thủy có một cạnh bằng 8. Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.