Euclid với thuật toán số nguyên tố (Kỳ 2)

Việc viết mỗi số tự nhiên thành tích các số nguyên tố giúp cho chúng ta giải quyết bài toán tìm ước chung và bội chung của những số tự nhiên. Sau đây là ví dụ.

Bài 1. Hai hình chữ nhật có một cạnh bằng nhau và có diện tích là 18cm2 và 20cm2. Biết các kích thước (chiều dài và chiều rộng) của cả hai hình chữ nhật đều là những số tự nhiên. Tìm cạnh chung đó.

Đáp số: 1cm, 2cm.

Nhận xét. Trường hợp đơn giản nhất là cạnh chung bằng 1cm.

Cách 1. Viết mỗi số thành tích hai số tự nhiên.

Ta có 18 = 1 x 18 = 2 x 9 = 3 x 6, 20 = 1 x 20 = 2 x 10 = 4 x 5.

Cạnh của hình chữ nhật thứ nhất có thể là: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Cạnh của hình chữ nhật thứ hai có thể là: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Cách 2. Viết mỗi số thành tích các số nguyên tố.

Ta có 18 = 2 x 3 x 3, 20 = 2 x 2 x 5.

Từ đó số 2 là số lớn nhất là ước chung của hai số.

Bài 2. Tìm số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất chia hết cho 18 và 20.

Giải. Ta thấy ngay số 18 x 20 = 360 chia hết cho 18 và 20. Tuy nhiên 360 không phải là số nhỏ nhất cần tìm.

Cách 1. Liệt kê các số tự nhiên chia hết cho 18 và 20.

Ta có hai dãy số là: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180... và 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180...

Từ đó số nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả 18 và 20 là 180.

Cách 2. Dựa vào cách viết thành tích các số nguyên tố, ta lấy những số nguyên tố xuất hiện ở cả hai số với số lần nhiều nhất ở mỗi số.

Ta có 18 = 2 x 3 x 3, 20 = 2 x 2 x 5.

Ta thấy có các số nguyên tố là 2, 3 và 5.

Số 2 xuất hiện trong tích thứ hai nhiều hơn nên ta chọn hai số 2.

Số 3 xuất hiện trong tích thứ nhất nhiều hơn nên ta chọn hai số 3.

Số 5 xuất hiện trong tích thứ hai nhiều hơn nên ta chọn một số 5.

Ta được 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180.

Chú ý. Ta gọi số 180 là bội chung nhỏ nhất của hai số 18 và 20.

Từ kết quả bài 1 với bài 2, ta thấy 2 x 180 = 360 và 18 x 20 = 360. Tức là tích của ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của hai số bằng tích của hai số.

Khẳng định trên cũng đúng với hai số tự nhiên bất kỳ.

Chẳng hạn với hai số 4 và 6, ta tìm được ước chung lớn nhất là 2 và bội chung nhỏ nhất là 12. Ta có 2 x 12 = 4 x 6 = 24.

Kết quả kỳ trước. Thực hiện thuật toán Euclid, ta có 1000 : 2 = 500, 500 : 2 = 250, 250 : 2 = 125, 125 : 5 = 25, 25 : 5 = 5.

Ta được 1000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5.

Mật mã ở đây là 222555. Trao giải 50.000 đồng/người cho bạn Trương Minh Sơn (lớp 6A9, THCS Nghĩa Tân).

Kỳ này. Tìm số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất chia hết cho 15 và 20. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.