Bài toán ngày sinh nhật (Kỳ 8)

Bài toán 11. Trong tháng 6 năm 2016, có 3 bạn sinh nhật khác ngày, khác thứ và khác tuần nhau. Biết ngày 1 tháng 6 là thứ tư.

a) Tìm ngày sinh nhật của 3 bạn nếu tổng của 3 ngày sinh nhật là 73.

b) Tìm tổng nhỏ nhất của 3 ngày sinh nhật.

Giải. a) Trung bình cộng ngày sinh nhật của 3 bạn là 73 : 3, lớn hơn 24.

Suy ra có bạn sinh nhật sau ngày 24.

Ta có các tuần trong tháng 6 là: từ 1 đến 5, 6 - 12, 13 - 19, 20 - 26 và 27 - 30.

Vì hai ngày 19 và 26 cùng thứ nên không cùng xuất hiện.

Ta có 30 + 26 + 19 - 1 = 74.

Suy ra 3 bạn sinh nhật vào các tuần 3, 4 và 5.

Ta chọn được 3 ngày sinh nhật có thể của 3 bạn là: (30, 26, 17), (29, 26, 18), (29, 25, 19).

b) Ở tuần thứ hai và thứ ba, 2 ngày 6 và 13 không cùng xuất hiện do cùng thứ.

Ta có 1 + 6 + 13 + 1 = 21.

Ta chọn được 3 ngày sinh nhật có thể của 3 bạn là (1, 6, 14), (1, 7, 13).

Vậy tổng nhỏ nhất của 3 ngày sinh nhật là 21.

Nhận xét. Trong một tháng, 2 ngày khác thứ nhau nếu hiệu 2 ngày là một số không chia hết cho 7. Các hiệu đó phải khác 7, 14, 21 và 28.

Bài toán 12. Ngày 1 tháng 2 có thể viết 01/02. Ngày này có đặc điểm: Nếu đọc theo thứ tự từ phải qua trái là 20/10, là một ngày trong năm. Ngày 1 tháng 4 không có đặc điểm này vì khi đọc theo thứ tự ngược lại là 40/10, không phải là một ngày trong năm.

Hỏi có bao nhiêu ngày có đặc điểm giống ngày 01/02?

Giải. Vì các tháng là 01, 02,..., 12 nên các ngày khi đọc theo thứ tự ngược lại là 21, 11, 01, 30, 20, 10.

Ta ghép 6 ngày trên với 6 tháng viết theo thứ tự ngược lại là 12, 11, 10, 03, 02, 01, ta được 6 × 6 = 36 ngày. Chẳng hạn 01/03 đọc theo thứ tự ngược lại là 03/10, là một ngày trong năm.

Tuy nhiên, ta loại hai ngày 30/02 và 20/03 do tháng 2 không có ngày 30.

Ta có 36 - 2 = 34.

Vậy trong năm có 34 ngày có đặc điểm trên.

Kết quả kỳ trước. Liệt kê trong năm 2017 những tháng có 3 thứ xuất hiện 5 lần:

Theo bài toán 9, ngày 1 tháng 1 năm 2017 là chủ nhật.

Vậy tháng 1 năm 2017 có 3 thứ có 5 ngày là chủ nhật, thứ hai và ba.

Suy ra ngày 1 tháng 2 và 1 tháng 3 là thứ tư (vì tháng 2 năm 2017 có 28 ngày do đây là năm không nhuận).

Vậy tháng 3 có 3 thứ có 5 ngày là tư, năm và sáu.

Suy ra ngày 1 tháng 4 là thứ bảy nên ngày 1 tháng 5 là thứ hai.

Vậy tháng 5 có 3 thứ có 5 ngày là hai, ba và tư.

Suy ra ngày 1 tháng 6 là thứ năm và ngày 1 tháng 7 là thứ bảy.

Vậy tháng 7 có 3 thứ có 5 ngày là bảy, chủ nhật và hai.

Suy ra ngày 1 tháng 8 là thứ ba.

Vậy tháng 8 có 3 thứ có 5 ngày là ba, tư và năm.

Suy ra ngày 1 tháng 9 là thứ sáu và ngày 1 tháng 10 là chủ nhật.

Vậy tháng 10 có 3 thứ có 5 ngày là chủ nhật, hai và ba.

Suy ra ngày 1 tháng 11 là thứ tư và ngày 1 tháng 12 là thứ sáu.

Vậy tháng 12 có 3 thứ có 5 ngày là sáu, bảy và chủ nhật. Trao giải 50.000 đồng/người cho bạn Trương Minh Sơn (Lớp 6A9, THCS Nghĩa Tân).

Kỳ này. Ở bài 11, tìm tổng lớn nhất của ba ngày sinh nhật. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.