Bài toán đếm

Con người sinh ra cũng vậy, nhất là trong xã hội hiện đại như ta đang sống thì từ lúc sinh ra, đến lúc biết nhận thức ít nhiều, đều được dạy đếm từ trong gia đình đến nhà trường và xã hội. Có lẽ, với người bình thường, kể từ khi bước vào trường đời đến khi hết tuổi lao động, tiếp theo là an hưởng tuổi già thì dù trong lao động, học tập, sinh hoạt hay giải trí... đếm luôn là bài toán, thường trực, hiện diện trong hầu hết thời gian tồn tại của con người.

Điều đó vẫn đúng ngay cả với những người chưa từng được đến trường.

Đếm gắn với so sánh. Đầu tiên là đếm để so sánh bằng nhau, hơn kém. Sau đó là so sánh tỉ lệ phần trăm hơn - kém, tăng - giảm, gấp nhau bao nhiêu lần... Sau đây là một số ví dụ về so sánh trong bài toán đếm:

1) Trong khi ở một số thành phố của nước ta có những lớp học mà sĩ số lên đến 50, thậm chí 60 học sinh thì ngược lại, ở miền núi, có những điểm trường lớp học chỉ gồm 10 học sinh, lại là lớp ghép với 2 đến 3 trình độ khác nhau (như 5 học sinh lớp 3 ghép với 3 học sinh lớp 4 và 2 học sinh lớp 5 học cùng nhau với một giáo viên).

2) Theo kết quả sơ bộ của cuộc Tổng điều tra dân số và nhà ở năm 2009, dân số cả nước ta tại thời điểm 0 giờ ngày 1 tháng 4 năm 2009 là 85.789.573 người. Tốc độ tăng dân số bình quân thời kỳ 1999-2009 là 1,2%. Tỷ lệ giới tính của dân số ở mức 98,1 nam trên 100 nữ.

Khởi điểm của đếm là cộng, trừ, nhân, chia. Tiếp sau đếm, một sự mở rộng tự nhiên về tỷ lệ trong thống kê là bài toán xác suất. Sau đây là hai cấp độ đầu tiên về mức độ dễ - khó trong bài toán đếm:

* Mức độ đơn giản nhất

Bài toán 1. Viết tất cả các số có hai chữ số mà các chữ số chỉ là 0, 1, 2 hoặc 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu số?

Bài toán này chúng tôi đưa ra cho học sinh lớp 3, thậm chí lớp 2 và khá nhiều em học trung bình làm đúng.

Bài toán 2. Một lớp học có 40 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó văn nghệ?

* Mức độ khó hơn

Bài toán 3. Tìm hệ số của đơn thức x4y6z8 khi khai triển (x + y + z)18 thành đa thức.

Bài toán 4. Có bao nhiêu cách viết số 2011 thành tổng ba số tự nhiên khác 0?

Một số nền giáo dục đã ý thức sâu sắc về tầm quan trọng của bài toán đếm và tìm cách đưa vào chương trình để học sinh tiếp cận càng nhiều càng tốt, càng sớm càng tốt những dạng toán liên quan đến đếm. Số học về các số tự nhiên vì thế rất quan trọng. Chẳng hạn, ở những thành phố, thị xã, khi hiện tượng phụ huynh đưa đón con đi học là phổ biến, ngay ở bậc tiểu học, giáo viên có thể yêu cầu học sinh thực hiện những công việc sau (như là một sinh hoạt tập thể bổ ích):

1) Hãy nhờ người lớn (phụ huynh) ước lượng quãng đường từ nhà đến trường, đơn vị đo là kilômét.

2) Ghi lại thời gian đi học từ nhà đến trường trong từng ngày của một tuần.

3) Tính vận tốc trung bình (có thể thêm thời gian trung bình) của một lần đến trường.

Sau đó giáo viên có thể tập hợp và viết các con số lên bảng rồi gợi ý để học sinh thảo luận, trả lời một số vấn đề như: bạn nào nhà xa trường nhất, gần trường nhất; những bạn nào có quãng đường đi bằng nhau; bạn nào đi học mất ít thời gian nhất, nhiều thời gian nhất; những quãng đường nào di chuyển với vận tốc trung bình lớn nhất, nhỏ nhất... Qua đó có thể mở rộng thêm như: tại sao hai bạn này có cùng quãng đường nhưng bạn này đi ít thời gian hơn; hiệu thời gian của hai bạn mất ít và nhiều thời gian nhất, tỉ lệ phần trăm...

Qua ví dụ trên, ta thấy rằng các em có thể ý thức được về thống kê, xác suất, so sánh từ rất sớm nếu có được những chương trình học phù hợp với lứa tuổi và môi trường sống.

Dành cho các bạn học sinh. Hãy giải bài toán 1 và tìm tổng các số có hai chữ số vừa viết được.