Thuật toán Euclid với phân số (kỳ 5)

Bài toán: Viết 10 phân số tạo bởi dãy số Fibonacci, mỗi phân số có tử số và mẫu số là hai số thuộc liên tiếp của dãy Fibonacci.

Giải: Sử dụng liên phân số, ta được 10 phân số là 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55.
Nhận xét: Ta biểu diễn những phân số này trên trục số rồi so sánh chúng. Ban đầu là hai phân số 1/1, 2/1. Ta có 1/1 < 2/1. Phân số tiếp theo 3/2 nằm giữa hai phân số này: 1/1 < 3/2 < 2/1. Tiếp tục, ta có 3/2 < 5/3 < 2/1, 3/2 < 8/5 < 5/3, 8/5 < 13/8 < 5/3... Tức là phân số mới tạo thành luôn nằm giữa hai phân số trước nó. Đồng thời, so sánh hai phân số liên tiếp, ta sẽ thấy các phân số theo thứ tự tăng rồi giảm, lại tăng rồi giảm.

Ta hãy quan sát thứ tự của 10 phân số đầu tiên: 1/1 (phân số thứ 1), 3/2 (thứ 3), 8/5 (thứ 5), 21/13 (thứ 7), 55/34 (thứ 9), 89/55 (thứ 10), 34/21 (thứ 8), 13/8 (thứ 6), 5/3 (thứ 4), 2/1 (thứ 2). Như vậy, dãy những phân số có số thứ tự lẻ sẽ tăng dần còn thứ tự chẵn sẽ giảm dần. Đồng thời những phân số có thứ tự lẻ luôn nhỏ hơn những phân số có thứ tự chẵn. Do đó, hai phân số liên tiếp ngày càng gần nhau hơn (hay hiệu của chúng ngày càng nhỏ đi). Những phân số này ngày càng gần bằng một hằng số đặc biệt trong toán học, đó là tỷ số vàng (phi). Số này xấp xỉ 1,618. Ví dụ khi đổi sang số thập phân của 10 phân số trên, ta được: 1; 2; 1,5; 1,667; 1,6; 1,625; 1,615; 1,619; 1,6176; 1,61818.

Các nhà toán học đã chứng minh được rằng tỷ số vàng là một số vô tỷ, tức là không thể biểu diễn được dưới dạng một phân số. Khi chưa có máy tính thì việc tính liên phân số [1, 1, 1,…] như trên sẽ giúp ta tìm được những phân số xấp xỉ số phi. Càng tính nhiều lần, càng chính xác.

Hơn 2.300 năm trước, trong tác phẩm của mình, Euclid viết về tỷ số vàng dưới dạng tỷ lệ của chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật đặc biệt. Một điều thú vị là tuy Euclid là người tìm ra thuật toán mang tên ông và thuật toán này có thể sử dụng để dễ dàng tìm ra phân số xấp xỉ với tỷ số vàng như trên, nhưng điều này không thấy ông viết trong tác phẩm của mình.   

Như vậy, chỉ với thuật toán Euclid đơn giản, ta có thể dựa vào đó để thiết lập những liên phân số xấp xỉ những số vô tỷ. Ngoài hằng số phi biểu diễn dưới dạng liên phân số đặc biệt [1, 1, 1,…], hai hằng số khác là pi và e cũng được viết dưới dạng liên phân số. Ta có pi = [3, 7, 15, 1, ... ]. Như thế, pi xấp xỉ 3, 22/7, 333/106, 355/113. Để tính tương đối chính xác, thường ta chọn 355/113 = 3,141592. Ta có e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8...] (từ số thứ tư, cứ hai số 1 đến một số chẵn tăng dần).

Kết quả kỳ trước: Đổi liên phân số [1, 1, 1, 1] sang phân số. Ta có [1] = 1; [1, 1] = 1 + 1/1 = 3/2; [1, 1, 1] = 1 + 1/(3/2) = 1 + 2/3 = 5/3; [1, 1, 1, 1] = 1 + 1/(5/3) = 1 + 3/5 = 8/5. Đáp số. 8/5. Trao giải 50.000 đồng/người cho bạn Đặng Bảo Linh (54 Ngô Thì Nhậm).

Kỳ này: Viết dãy liên phân số sau dưới dạng phân số: [1], [1, 2], [1, 2, 2]. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.