Số 11

Nhân với 11. Trong bản cửu chương chúng ta được học thì chỉ đến bảng nhân với 9. Nhân với 10 thì theo quy tắc thêm số 0 vào cuối, như 18 x 10 = 180. Ở một số quốc gia, học sinh được học bảng nhân đến 19. Riêng phép nhân với 11 có một cách làm đặc biệt là lấy tổng hai chữ số ở 2 hàng liên tiếp, trừ hai chữ số đầu và cuối.

Ví dụ: 23 x11 thì viết từ phải sang trái: 3, 3 + 2, 2, ta được tích là 253; 315 x 11 viết 5, 5 + 1, 1 + 3, 3, được tích là 3465. Nếu cộng hai chữ số liên tiếp được tổng lớn hơn 9 thì nhớ sang hàng tiếp theo. Chẳng hạn 48 x 11 viết 8, 8 + 4 = 12 viết 2 nhớ 1, 1 + 4, được tích bằng 528; 985 x 11 viết 5, 3 (5 + 8 = 13, viết 3 nhớ 1), 8 (1 + 8 + 9 = 18 viết 8 nhớ 1), 10 (1 + 9 = 10), được 10835.

Tương tự, ta cũng có những cách để nhân nhanh một số với lũy thừa của 11 hay những số như 111, 1111. Ta biết 11 x 11 = 121. Để tính 23 x 121 ta làm như sau: đầu tiên ta tính 23 x 11 = 253 (3, 3 + 2, 2), sau đó ta tính 253 x 11 = 2783. Phép nhân với 111 ta thực hiện tương tự như phép nhân với 11, từ chữ số thứ 3 của số nhân ta cộng ba chữ số liên tiếp. Chẳng hạn 25 x 111 ta viết 5, 5 + 2, 5 + 2, 2 được 2775 hoặc 4267 x 111 thì viết 7, 7 + 6 = 13 ghi 3 nhớ 1, 1 + 7 + 6 + 2 = 16 ghi 6 nhớ 1, 1 + 6 + 2 + 4 = 13 ghi 3 nhớ 1, 1 + 2 + 4 = 7, 4 ta được 473637. Ta cũng có thể thực hiện tính nhanh một tích nhân với 1111 hay 11111.

Chia cho 11. Để tìm số dư khi chia một số cho 11, ta lấy tổng các chữ số ở vị trí lẻ (số a) và tổng các chữ số ở vị trí chẵn (số b) trừ đi nhau, hiệu này chia 11 dư bao nhiêu thì đó cũng là số dư khi chia số ban đầu cho 11. Từ đó suy ra dấu hiệu chia hết cho 11. Ví dụ số 69 thì a = 9, b = 6, a - b = 3 nên 69 chia 11 dư 3. Số 214 có a = 4 + 2 = 6, b = 1 nên a - b = 5, từ đó 214 chia 11 dư 5. Trong phép thử này, khi a = b thì số đã cho sẽ chia hết cho 11. Chẳng hạn số 517 sẽ có a = 7 + 5 = 12, b = 1 nên a - b = 11, chia hết cho 11 nên số 517 sẽ chia hết cho 11. Đôi khi, với một số đếm, ta sẽ có a nhỏ hơn b. Khi đó ta lấy số a cộng với số c nhỏ nhất để a + c - b chia hết cho 11 thì số đã cho sẽ chia 11 dư 11 - c. Ví dụ số 182 thì a = 2 + 1 = 3, b = 8, ta tìm được c = 5 để 3 + c - 8 chia hết cho 11, số 182 sẽ chia 11 dư 11 - 5 = 6. Số 3190 có a = 0 + 1 = 1, b = 9 + 3 = 12 nên c = 11 và số 3190 chia hết cho 11.

Kết quả kỳ trước. Nhóm A gồm các số 2, 4, 6, 8; nhóm B gồm các số 3, 6, 9; nhóm C gồm các số 4, 8. A trừ B có các số 2, 4, 8; B trừ C là 3, 6, 9; C trừ A không có số nào (gọi là tập rỗng).

Kỳ này. Tính nhanh 2013 x 121. Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.