Bài toán ngày sinh nhật (kỳ 6)

Bài toán 6. Ba bạn Anh, Bình, Công sinh cùng ngày nhưng ở ba tháng khác nhau, theo thứ tự tháng tăng dần. Điểm đặc biệt là sinh nhật trong năm 2016 của ba người cùng vào chủ nhật.

a) Hỏi ba người sinh vào những tháng nào?

b) Hỏi trong năm 2017, có bạn nào sinh nhật cùng thứ hay không?

c) Hỏi năm tiếp theo gần nhất là năm nào, ba người lại sinh nhật cùng thứ và hôm đó là thứ mấy?

d) Hỏi năm tiếp theo gần nhất là năm nào, ba người lại sinh nhật vào chủ nhật?

Giải. a) So sánh khoảng cách của hai ngày giống nhau ở hai tháng gần nhau trong năm 2016 (là năm nhuận), ta thấy cách nhau số ngày lần lượt là: 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30.

Các số này chia 7 dư lần lượt là: 3, 1, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 2.

Giả sử người sinh nhật tháng 1 vào chủ nhật thì cùng ngày đó ở những tháng tiếp theo sẽ là các thứ: tư, năm, chủ nhật, ba, sáu, chủ nhật, tư, bảy, hai, năm, bảy.

Ta thấy chỉ có ba tháng có ba ngày giống nhau cùng thứ là tháng 1, 4 và 7.

Vậy Anh sinh vào tháng 1, Bình sinh vào tháng 4 và Công sinh vào tháng 7.

b) Vì Anh sinh vào tháng 1 và năm 2016 là năm nhuận nên sinh nhật năm 2017 sẽ cách 366 ngày.

Vì 366 : 7 dư 2 nên sinh nhật năm 2017 của Anh là thứ ba.

Vì Bình và Công sinh vào tháng 4 và 7, nên sinh nhật năm 2017 sẽ cách 365 ngày.

Vì 365 : 7 dư 1 nên sinh nhật năm 2017 của Bình và Công đều là thứ hai.

Vậy trong năm 2017, hai bạn Bình và Công sẽ sinh nhật cùng thứ.

c) Ta thấy cứ sau 4 năm mà trong giữa khoảng đó có chứa ngày 29 tháng 2 thì cùng một ngày, lần sinh nhật sau sẽ hơn 5 thứ so với lần sinh nhật trước (3 năm không nhuận, mỗi năm hơn 1 thứ và năm nhuận hơn 2 thứ).

Vì các năm 2016 và 2020 đều nhuận nên gần nhất là năm 2020, cả ba bạn lại sinh nhật cùng thứ và đó là thứ sáu.

d) Cứ sau 4 năm, ba người lại sinh nhật cùng thứ và ngày sinh nhật lần sau hơn lần trước 5 thứ.

Số lần nhỏ nhất để khi nhân với 5 được số chia hết cho 7 là 7.

Vậy để ba người sinh nhật trong năm cùng thứ thì năm đó phải cách số năm là 7 × 4 = 28.

Ta có 2016 + 28 = 2044.

Vậy gần nhất là năm 2044, cả ba người lại sinh nhật vào chủ nhật.

Bài toán 7. Ngày 22 tháng 5 là sinh nhật Huệ. Huệ nhận thấy trong năm 2016, tất cả các ngày 22 của các tháng khác đều khác thứ với ngày 22 tháng 5 (là chủ nhật). Huệ thấy năm 2017 cũng vậy.

Hỏi trong năm 2016, có bao nhiêu ngày có đặc điểm trên?

Giải. Theo nhận xét của bài toán 2, những người sinh nhật vào tháng 5 hoặc tháng 6 (và chỉ trong hai tháng này) thì luôn có sinh nhật khác thứ với những người sinh cùng ngày ở tháng khác trong hai năm nhuận và không nhuận.

Tháng 5 có 31 ngày, tháng 6 có 30 ngày.

Ta có 30 + 31 = 61.

Đáp số: 61 ngày.

Kết quả kỳ trước. Ngày sinh: Từ số 1 đến 31; Tháng sinh: Từ số 1 đến 12; Thứ sinh: Từ số 1 đến 7.

Vì 31 + 12 + 7 = 50 nên sinh nhật Lan ngày thứ bảy 31 tháng

12 năm 2016. Trao giải 50.000 đồng/người cho bạn Trương Minh Sơn (lớp 6A9, THCS Nghĩa Tân).

Kỳ này. Trong năm 2016, có bao nhiêu ngày khác thứ với tất cả các ngày giống nó ở các tháng khác trong năm? Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.