Toán bất biến

Bài 1. Năm nay, bố hơn Việt 31 tuổi và kém ông 25 tuổi. Biết rằng 3 năm trước thì tuổi của ông gấp 9 lần tuổi của Việt. Hỏi năm nay Việt bao nhiêu tuổi?

Giải. Tuổi ông hơn tuổi của Việt là 31 + 25 = 56 (tuổi).

Tuổi của Việt 3 năm trước là 56 : (9 - 1) = 7 (tuổi).

Tuổi của Việt hiện tại là 7 + 3 = 10 (tuổi).

Nhận xét. Số tuổi của bố hơn Việt và số tuổi bố kém ông là số bất biến. Do đó số tuổi ông hơn Việt cũng là bất biến.

Bài 2. Trên bảng viết 10 số tự nhiên từ 1 đến 10. Ta thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần ta xóa đi hai số a và b bất kỳ rồi viết lên bảng hiệu của hai số. Hỏi sau 9 lần thực hiện trò chơi thì số còn lại trên bảng có thể là số 0 được không?

Nhận xét. Sau mỗi lần thực hiện trò chơi thì trên bảng giảm đi một số (xóa 2 số cũ và viết thêm 1 số mới). Sau 9 lần thì trên bảng còn đúng 1 số. Thử chơi: xóa cặp số 9, 10 và thay bằng hiệu 1. Tương tự như các cặp số 1, 2 hoặc 3, 4 hoặc 5, 6 hoặc 7, 8 thì sau 5 lần thực hiện trò chơi, trên bảng còn lại 5 số 1. Thử tiếp 2 lần cặp 1, 1 ta còn 3 số trên bảng là 0, 0, 1. Sau 2 lần chơi nữa ta được số còn lại là 1, khác 0. Vậy bất biến ở đây là gì?

Giải. Tổng 10 số ban đầu là S = 1 + 2 +... + 10 = 55.

Mỗi lần chơi xóa đi hai số a và b bất kỳ rồi viết lên bảng số a - b, ta thấy a + b = (a - b) + 2b. Nghĩa là số mới viết bé hơn tổng hai số vừa xóa là 2b, là một số chẵn. Tức là sau mỗi lần chơi, tổng các số trên bảng luôn là số lẻ. Vậy số cuối cùng cũng là số lẻ nên khác 0.

Bài 3. Một hình vuông cạnh 4cm bị khuyết 2 hình vuông đơn vị (cạnh 1cm) ở hai góc đối diện nhau. Một người tìm cách dùng 7 quân đôminô hình chữ nhật kích thước 1cm x 2cm để đặt vào phần còn lại của hình vuông bị khuyết này. Hỏi có thể làm được không?

Giải. Phần còn lại của hình vuông gồm 4 x 4 - 2 = 14 hình vuông đơn vị.

Ta tô màu 14 hình vuông này bằng hai màu đen trắng kế tiếp như bàn cờ vua.

Ta thấy số ô màu đen là 6 còn số ô màu trắng là 8.

Mỗi quân đôminô khi đặt vào bàn cờ sẽ lấp vào 1 ô đen và 1 ô trắng liền kề.

Vì số ô đen khác số ô trắng nên không thể thực hiện được việc đặt 7 quân đôminô vào hình vuông bị khuyết này.

Nhận xét. Nếu không dùng lập luận trên, ta có thể thử lát theo các cách khác nhau và đều không thể thực hiện được. Bất biến ở đây là số ô đen và trắng của mỗi cây đôminô là bằng nhau.

Kết quả kỳ trước. Số bé nhất có tổng các chữ số bằng 30 là 3999. Phần thưởng 50.000 đồng/người được trao cho bạn Nguyễn Bá Ngọc (lớp 4B, TH Trần Phú, huyện Lục Yên, tỉnh Yên Bái)

Kỳ này. Ở bài 3, với hình vuông cạnh n bất kỳ bị khuyết 2 hình vuông đơn vị ở hai góc đối diện thì có lát được không? Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.