Tìm chữ số tận cùng

1) Một số cộng thêm 10 thì kết quả giữ nguyên hàng đơn vị.
2) Một số nhân với 10 thì kết quả luôn có chữ số hàng đơn vị bằng 0.
3) Một số chẵn nhân với 5 luôn tận cùng bằng 0, một số lẻ nhân với 5 luôn tận cùng bằng 5.

4) Nhiều số tận cùng là 1 nhân với nhau ra kết quả có chữ số tận cùng bằng 1. Tương tự với nhiều số tận cùng bởi 0, 5 hoặc 6 nhân với nhau.
Ta cũng áp dụng chữ số tận cùng để tính nhanh một tổng hay một tích. Sau đây là một số dạng toán thường gặp về chữ số tận cùng.

Bài toán 1. Tính nhanh: A = 27 + 12 + 73; B = 36 + 48 + 63 + 22.
Bài làm. A = 27 + 12 + 73 = (27 + 73) + 12 = 100 + 12 = 112.
B = 36 + 48 + 63 + 22 = (36 + 63) + (48 + 22) = 100 + 70 = 170.

Bài toán 2. Tìm chữ số tận cùng của các biểu thức sau:
a) A = 65 x 66 x 67 x 68 x 69.
b) B = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9.
c) C = 32 x 55 x 87 - 21 x 45 x 93.

Bài làm. a) Tích 65 x 66 tận cùng bằng 0. Vậy A tận cùng bằng 0.
b) Tích 4 x 5 tận cùng bằng 0. Vậy B tận cùng bằng 0.
c) Tích 32 x 55 tận cùng bằng 0. Vậy 32 x 55 x 87 tận cùng bằng 0. Tích 21 x 45 x 93 tận cùng bằng 5. Vậy C tận cùng bằng 5.

Bài toán 3. Tìm chữ số tận cùng của:
a) Tích A = 19 x 29 x 39 x 49 x 66 x 76 x 86 x 96.
b) Tích gồm 2011 số 3: B = 3 x 3 x... x 3.
c) Tích 1006 số lẻ đầu tiên: C = 1 x 3 x 5 x... x 2011.

Bài làm. a) Tích 19 x 29 tận cùng bằng 1, tích 39 x 49 tận cùng bằng 1. Tích 66 x 76 x 86 x 96 tận cùng bằng 6. Vậy A tận cùng bằng 6.

b) Tích 3 x 3 x 3 x 3 tận cùng bằng 1. Chia 2011 cho 4 được thương bằng 502 dư 3. Tích gồm 2008 số 3 tận cùng bằng 1. Tích 3 x 3 x 3 tận cùng bằng 7. Vậy B tận cùng bằng 7.

c) Trong C có thừa số 5 nên C tận cùng là 5 hoặc 0. Vì C lẻ nên C tận cùng bằng 5.

Bài toán 4. Không làm phép tính, hãy cho biết kết quả các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích cách làm.

a) 19 x 15 x 2011 = 747341.
b) 1221 + 847 + 99 + 32 = 2187.
c) (2001 + 2003 + 2005) x 100 = 60091.
a) Sai. Vì tích 19 x 15 x 2011 tận cùng bằng 5.
b) Sai. Vì 1221 + 847 + 99 + 32 = (1221 + 99) + (847 + 32) tận cùng bằng 9.
c) Sai. Vì tích ở vế trái tận cùng bằng 0.

Bài toán 5. Tính 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x... x 48 x 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Bài làm. Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Hay 5 = 1 x 5; 10 = 2 x 5; 15 = 3 x 5; 20 = 4 x 5; 25 = 5 x 5; 30 = 6 x 5; 35 = 7 x 5; 40 = 8 x 5; 45 = 9 x 5. Mỗi thừa số 5 nhân với một số chẵn cho ta một số tròn chục. Mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.

Bài tập kỳ này. Tìm chữ số tận cùng của tích 2011 số 9 là: 9 x 9 x... x 9.
Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi "Học mà chơi - chơi mà học" của Báo Hànộimới.