Lý thú với tính chất giao hoán trong phép cộng

Cộng là một trong bốn phép tính cơ bản của số học là cộng, trừ, nhân và chia. Tính chất cơ bản của phép cộng là tính giao hoán như ta vừa nói ở trên. Trong khi học, ta sử dụng tính chất này rất nhiều. Sau đây là một số bài toán giải bằng cách sử dụng tính chất giao hoán của phép cộng, để chúng ta thấy được một số lý thú bất ngờ của tính chất này.

Bài toán 1: Tính nhanh
A = 14 + 37 + 86 + 63.
Bài làm. A = 14 + 37 + 86 + 63= (14 + 86) + (37 + 63) = 100 + 100 = 200.

Bài toán 2: Tính tổng của 99 số tự nhiên
B = 1 + 2 + 3 +... + 99.
Bài làm: Sử dụng tính chất giao hoán, ta đổi chỗ các số hạng trong S để tính tổng như sau
B = (1 + 99) + (2 + 98) +... + (49 + 51) + 50 = 100 + 100 +... + 100 + 50 = 49 × 100 + 50 = 4900 + 50 = 4950.

Bài toán 3: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên
C = 1 + 3 + 5 +... + 199.
Bài làm: C = (1 + 199) + (3 + 197) +... + (99 + 101) = 200 + 200 +... + 200 = 50 × 200 = 10000.

Bài toán 4: Các số hạng trong tổng sau đều chia 3 dư 1: D = 1 + 4 + 7 +... + 61. Tính D.
Bài làm: Khi chia các số 1, 4, 7,... , 61 cho 3 được thương là 0, 1, 2,... , 20 và dư 1.
Vậy tổng D có 21 số hạng.
D = (1 + 61) + (4 + 58) +... + (28 + 34) + 31 = 62 + 62 +... + 62 + 31 = 10 × 62 + 31 = 620 + 31 = 651.

Bài toán 5: Tổng của ba số liền nhau trong bảng dưới bằng 12. Tìm số x.

Bài làm: So sánh tổng ba số thứ nhất, thứ hai và thứ ba với tổng ba số thứ hai, thứ ba, thứ tư thì số thứ nhất bằng số thứ tư. Tương tự, số thứ hai bằng số thứ năm và số thứ tám. Từ đó x + 5 + 3 = 12. Ta được x = 4.

Bài toán 6: Dùng các chữ số 1, 2, 3, 4, mỗi chữ số dùng một lần, để viết các số có bốn chữ số, chẳng hạn số 4231.
a) Hỏi viết được bao nhiêu số như trên?
b) Tính tổng các số vừa viết được.

Bài làm: a) Chữ số hàng nghìn có 4 cách chọn. Sau đó, chữ số hàng trăm có 3 cách chọn (khác chữ số hàng nghìn). Tiếp theo, chữ số hàng chục có 2 cách chọn. Cuối cùng, chữ số hàng đơn vị có 1 cách chọn.
Vậy có 4 × 3 × 2 × 1 = 24 (số).

b) Đặt phép tính tổng 24 số theo cột dọc. Trên cùng một hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm hay hàng nghìn, ta đổi chỗ các chữ số cho nhau sao cho số bé đứng trên, số lớn đứng dưới. Vì 24 : 4 = 6 và vai trò của 4 chữ số là bình đẳng nên sau khi thực hiện giao hoán như trên, ta được tổng 24 số gồm các số 1111, 2222, 3333 và 4444, mỗi số xuất hiện 6 lần.

Vậy tổng của các số là:
6 × (1111 + 2222 + 3333 + 4444)
= 6 × (1111 + 4444 + 2222 + 3333)
= 6 × (5555 + 5555) = 6 × 11110 = 66660.
Kết quả kì trước: Đơn vị đo. 1) km; cm ; km; m; cm; m; m; cm; cm; mm; kg; g; kg; g; tấn; ml; ml; l; ml; l; giây; phút; h; h. 2) S; Đ; Đ; Đ; S; Đ; S.

Phần thưởng 50.000 đồng/người trao cho bạn Lưu Phương Huyền, 8B, THCS Trung Tú, Ứng Hòa. Mời bạn Huyền đến Tòa soạn Báo Hànộimới lĩnh thưởng.
Kì này: Số 18 có tổng các chữ số là 1 + 8 = 9. Tính tổng các chữ số của tất cả các số 1, 2, 3,... , 36. Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, Tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi “Học mà chơi - chơi mà học” của Báo Hànộimới.