Bí ẩn dãy số Fibonacci

Vậy con số 1,618 ở trên có tên gọi là gì và ai đã phát hiện ra nó? Chúng ta cùng tìm hiểu qua hình vẽ sau:

Ở hình bên trái, ta thấy ban đầu là hai hình vuông cạnh 1, tiếp theo là hình vuông cạnh 2 rồi vẽ tiếp hình vuông cạnh 3. Tiếp sau là các hình vuông cạnh 5, 8, 13. Cứ tiếp tục như vậy ta có thể vẽ tiếp các hình vuông lớn hơn. Ở đây, ngoại trừ hai hình vuông ban đầu bằng nhau thì chiều dài cạnh các hình vuông sau tăng dần, ta được dãy số chiều dài cạnh hình vuông là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Cứ mỗi lần vẽ thêm hình vuông, ta lại tính tỉ lệ của chiều dài chia chiều rộng của hình chữ nhật lớn nhất. Tỉ lệ này càng ngày càng xấp xỉ con số trên, chẳng hạn 89 : 55 bằng 1,61818 (số 18 lặp lại vô hạn).

Người ta gọi hằng số trên là phi hay tỉ số vàng, còn dãy số trên là dãy số Fibonacci. Nhà toán học người Ý Fibonacci (1180 - 1250) sau một thời gian tìm hiểu, theo học các nhà toán học Ả Rập, ông đã cho rằng hệ ghi chữ số Ả Rập (sử dụng ký tự 0, 1, 2,...) dùng đơn giản và hiệu quả hơn hệ ghi chữ số La Mã (sử dụng ký tự I, V, X,... ) nên đã viết cuốn Sách tính toán để truyền bá khắp châu Âu hệ ghi chữ số này cũng như để trình bày những hiểu biết của ông về nền toán học Ả Rập cổ đại. Trong cuốn sách ông có nhắc tới dãy số trên và về sau người ta thống nhất lấy tên của ông để đặt tên cho dãy số này.

Trong dãy số Fibonacci, số liền sau luôn bằng tổng của hai số trước nó: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2... Dãy số được xuất phát từ bài toán nổi tiếng tính tổng số thỏ trong đàn sau 1 năm với những giả thiết: ban đầu có một đôi thỏ 1 tháng tuổi, cứ sau mỗi tháng thì đôi thỏ lại sinh ra một đôi thỏ mới, đôi thỏ mới sinh ra khi trưởng thành (được 2 tháng tuổi) lại tiếp tục sinh đôi và giả sử không có con thỏ nào bị chết trong 12 tháng đó. Bài toán này tương tự như việc tính số cành trên cây sau một thời gian sinh trưởng.

Ta tiếp tục với hình vẽ bên phải. Cứ sau mỗi lần vẽ thêm hình vuông mới, ta lại vẽ một cung tròn mới nối tiếp cung tròn cũ. Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ có một hình tương tự như một vỏ ốc.

Dãy số Fibonacci cũng như số phi là những bí ẩn lớn của toán học. Nó tồn tại khắp nơi, trong tự nhiên, trong hội họa, kiến trúc, tài chính, khoa học... Từ số lượng cá thể của một đàn ong, một đàn bò hay số cành cây, số chồi lá trên một cành cây, số cánh hoa trên một bông hoa... đến cấu tạo hình vỏ ốc của quả thông, quả dứa hay sự phân bố của lá cây (để thích hợp cho sự quang hợp), của sừng động vật... Dãy số trên được tìm thấy trong cách tính điện trở mạch điện trong vật lý. Hằng số phi được tìm thấy trong kiến trúc cổ như Kim Tự Tháp - Ai Cập, điện Parthenon ở Hy Lạp hay trong các bức tượng cổ và các bức tranh thời kỳ Phục hưng. Nó biểu hiện quan niệm về cái đẹp và sự cân xứng, sự ưa nhìn. Không chỉ vậy, dãy số Fibonacci còn ứng dụng trong biểu đồ giá cả của một mã chứng khoán hay những chỉ số chứng khoán.

Dành cho các bạn học sinh. Hãy kể tên những động - thực vật trong tự nhiên mà em biết có hình dạng giống vỏ ốc. Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi “Học mà chơi - chơi mà học” của Báo Hànộimới.

Giải bài kỳ trước. Toán trò chơi: Đội B thắng nhiều nhất 2 trận.