Bài toán những người cùng sinh nhật

Thoạt nhìn, với một lớp học có 30 bạn thì có 30 ngày sinh (có thể trùng nhau hoặc khác nhau). Số ngày của một năm nhuận là 366, còn năm thường là 365. Như thế ta sẽ tưởng các số 30/366 hay 30/365 là tỷ lệ số bạn có thể có cùng ngày sinh nhật. Các số này đều nhỏ hơn 1/10, nghĩa là tỷ lệ có cùng ngày sinh nhật là rất nhỏ. Thực tế không phải như vậy. Đây là một bài toán xác suất đã có từ lâu, rất hay được đưa ra giảng dạy như một ví dụ điển hình về kỹ thuật giải cũng như những lý thú và ý nghĩa thực tiễn của toán học đối với đời sống con người. Khác với phong tục tập quán có từ xa xưa của người Việt Nam là thường quan tâm đến các ngày đầy tháng, thôi nôi (1 tuổi), 60 tuổi, 70 tuổi, 80 hay 90, 100 tuổi... thì người phương Tây lại rất quan tâm đến ngày sinh nhật của mình cũng như tìm hiểu xem có ai có cùng ngày sinh nhật với mình không. Bởi vậy, họ đã tìm cách giải bài toán trên từ lâu. Bài toán có nhiều cách giải, sau đây là một cách.

Ta sẽ chọn 1 năm có 366 ngày với lớp học có 30 bạn. Xét khả năng lớp học không có hai bạn nào sinh nhật cùng ngày. Ta xếp 10 bạn thành hàng và xét ngày sinh nhật của các bạn. Để bạn thứ hai không cùng sinh nhật với bạn thứ nhất thì bạn này phải sinh vào 1 ngày trong 365 ngày còn lại, tức là tỷ lệ ngày sinh của bạn thứ hai là 365/366. Tương tự, tỷ lệ ngày sinh của các bạn thứ ba, thứ tư,... thứ 30 lần lượt là: 364/366, 363/366,... 337/366. Lấy tích các phân số này: 365/366 x 364/366 x ... x 337/366 ta được xấp xỉ 3/10. Vì đây là tỷ lệ không có hai bạn nào có cùng ngày sinh nhật nên 1 - 3/10 = 7/10 sẽ là tỷ lệ trong lớp có ít nhất hai bạn có cùng ngày sinh nhật. Điều này có nghĩa là với 10 lớp học, mỗi lớp học có 30 bạn thì trung bình sẽ có 7 lớp mà trong mỗi lớp đó sẽ có những bạn có cùng ngày sinh nhật.

Bài toán tương tự với những lớp học có 23 bạn thì trung bình cứ mỗi 2 lớp lại có 1 lớp có các bạn có cùng sinh nhật (ta tìm được tỷ số là gần bằng 1/2). Với những lớp học có nhiều người hơn như lớp học trên giảng đường có 50 sinh viên thì tỷ lệ tính được là 97/100. Số người càng tăng thì tỷ lệ tính được càng gần bằng 1. Chẳng hạn với nhiều hơn 366 người thì luôn có ít nhất 2 người sinh nhật cùng ngày.

Bây giờ ta tìm hiểu thêm về một vài điều thú vị khác. Trong xã hội, tỷ lệ hai vợ chồng có cùng ngày sinh nhật là 1/366. Tức là trung bình cứ 366 cặp vợ chồng có một cặp có cùng ngày sinh nhật. Tỷ lệ một gia đình gồm bố, mẹ và một người con có cùng sinh nhật là 1/(366 x 366), gần bằng 1/134000. Trong cuộc sống ta gặp không ít những trường hợp này: trong một khóa học, một gia đình có 2, 3, hay 4 người có cùng ngày sinh nhật. Đó là điều thú vị của cuộc sống.

Số sau, các bạn sẽ được tìm hiểu kỹ hơn về xác suất và một số kỹ thuật giải những bài toán dạng này mà ta đã sử dụng để giải ở bài toán trên.

Kết quả kỳ trước. Giải phương trình đại số bậc 3 “Tìm x: x x (x + 1) x (x + 2) = 120”. Thử 1 x 2 x 3 = 6, 2 x 3 x 4 = 24, 3 x 4 x 5 = 60, 4 x 5 x 6 = 120. Đáp số: x = 4.

Phần thưởng 50.000đ/người trao cho các bạn: Bùi Tú Anh, lớp 8A, THCS thị trấn Trâu Quỳ, Nguyễn Thùy Trang, 1A, Nhà P10, Khu lắp ghép Trương Định.

Câu hỏi kỳ này: Tìm tỷ lệ để có 4 người bạn thân có cùng ngày sinh nhật.

Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.