Bài toán ngày sinh nhật (kỳ 7)

a) Tìm ngày sinh nhật của 5 bạn.

b) Hỏi sinh nhật năm 2017 của các bạn vào thứ mấy?

Giải. a) Vì ở tháng tiếp theo, có đúng một thứ của 5 ngày khác nhau nên tháng đó có 29 ngày.

Vậy tháng tiếp theo là tháng 2 nên 5 bạn sinh nhật vào tháng 1.

Trong tháng 1 năm 2016 có 5 ngày chủ nhật là các ngày 3, 10, 17, 24, 31.

Vậy sinh nhật của 5 bạn là các ngày 3, 10, 17, 24, 31 tháng 1.

b) Vì năm 2016 là năm nhuận nên sinh nhật năm sau của các bạn sinh vào tháng 1 (trước ngày 29 tháng 2) sẽ hơn hai thứ so với năm 2016.

Vậy sinh nhật năm 2017 của 5 bạn vào thứ ba.

Bài toán 9. Trong năm 2016, tháng 1 có 5 ngày thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật. Tháng 2 có 5 ngày thứ hai.

a) Hãy liệt kê các tháng tiếp theo của năm 2016 những thứ có 5 ngày trong một tháng.

b) Hỏi ngày 1 tháng 1 năm 2017 là thứ mấy?

Giải. a) Ta thấy: Trong một tháng có 29 ngày thì thứ của ngày 1 sẽ có 5 lần. Tương tự, tháng có 30 (hoặc 31) ngày thì thứ của ngày 1, 2 (hoặc 1, 2, 3) sẽ có 5 lần.

Vì ngày 31 tháng 1 là chủ nhật nên ngày 1 và 29 tháng 2 là thứ hai.

Suy ra ngày 1, 2, 3 tháng 3 là thứ ba, tư, năm.

Tháng 3 có 31 ngày nên có 5 ngày thứ ba, thứ tư, thứ năm.

Ngày 1, 2 tháng 4 là thứ sáu, thứ bảy.

Tháng 4 có 30 ngày nên có 5 ngày thứ sáu, thứ bảy.

Cứ tiếp tục như vậy ta có năm ngày cùng thứ ở các tháng tiếp theo là: Chủ nhật, thứ hai, thứ ba (tháng 5); thứ tư, thứ năm (tháng 6); thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật (tháng 7); thứ hai, thứ ba, thứ tư (tháng 8); thứ năm, thứ sáu (tháng 9); thứ bảy, chủ nhật, thứ hai (tháng 10); thứ ba, thứ tư (tháng 11); thứ năm, thứ sáu, thứ bảy (tháng 12).

b) Ta thấy ngày 31 tháng 12 năm 2016 là thứ bảy.

Vậy ngày 1 tháng 1 năm 2017 là chủ nhật.

Bài toán 10. Trong một câu lạc bộ toán học, trong tháng 5 năm 2016 có 32 người sinh nhật. Chứng minh rằng:

a) Có ít nhất 2 thành viên có cùng sinh nhật;

b) Có ít nhất 5 thành viên có sinh nhật cùng thứ.

Giải. a) Giả sử cả 32 thành viên có sinh nhật khác nhau vào tháng 5 năm 2016.

Suy ra trong tháng này có ít nhất 32 ngày: Vô lí vì tháng 5 có 31 ngày.

Vậy có ít nhất 2 thành viên có cùng sinh nhật.

b) Giả sử có nhiều nhất 4 thành viên có sinh nhật cùng thứ.

Vì một tuần có 7 thứ nên số thành viên nhiều nhất của câu lạc bộ là 4 × 7 = 28: Vô lý vì câu lạc bộ có 32 người.

Vậy có ít nhất 5 thành viên có sinh nhật cùng thứ.

Kết quả kỳ trước. Theo bài toán 2, các tháng có ngày 1 cùng thứ là: (1, 4, 7), (2, 8), (3, 11), (9, 12).

Như vậy, các ngày trong tháng 5, 6 và 10 đều khác thứ với tất cả các ngày giống nó ở các tháng khác.

Ngoài ra ta còn có các ngày 30, 31 tháng 8 (vì tháng 2 không có ngày 30, 31); 31 tháng 3 và 31 tháng 12 cũng thỏa mãn.

Ta có 31 + 30 + 31 + 4 = 96.

Đáp số: 96 ngày.

Kỳ này. Hãy liệt kê theo từng tháng của năm 2017 những thứ có 5 ngày trong một tháng. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.