Toán học - học mà chơi: Bài toán tối ưu

Bài làm. Nếu người đi ô tô mua trước thì người đó mất 5 phút, còn người đi xe máy đợi mất 5 phút mới đến lượt mình cộng với 2 phút thời gian đổ xăng. Tổng cộng người đi xe máy mua xăng mất 7 phút nên thời gian mua xăng tổng cộng của hai người là 5 + 7 = 12 (phút).

Tương tự thời gian mua xăng tổng cộng của hai người khi người đi xe máy mua trước là 2 + (2 + 5) = 9 (phút).

Nhận xét. So sánh hai kết quả trên, ta thấy 9 < 12. Bây giờ, nếu tăng số người đi xe máy đến mua xăng lên hai người thì thời gian mua xăng tổng cộng của ba người trong các trường hợp sẽ là:

+ Người đi ô tô mua đầu tiên: 5 + (5 + 2) + (5 + 2 + 2) =  21 (phút).
+ Người đi ô tô mua thứ hai: 2 + (2 + 5) + (2 + 5 + 2) =  18 (phút).
+ Người đi ô tô mua thứ ba: 2 + (2 + 2) + (2 + 2 + 5) =  15 (phút).

Rõ ràng 15 < 18 < 21. Như thế, ta thấy là trong cả hai bài toán thì việc để người đi ô tô mua xăng sau cùng sẽ tiết kiệm thời gian tổng cộng nhất.

So sánh như trên để thấy rằng chỉ từ những việc nhỏ, nếu không có sự tính toán hợp lý thì sẽ tạo ra sự lãng phí về tổng cộng thời gian của toàn xã hội. Chẳng hạn như chỉ riêng Hà Nội, theo ước tính có khoảng 4 triệu chiếc xe máy và 400 nghìn ô tô.

Trên đây chỉ là những ví dụ nhỏ của bài toán tối ưu, một ngành được nghiên cứu lý thuyết cùng những ứng dụng trong nhiều mặt của cuộc sống: bài toán vận tải, toán kinh tế, lý thuyết trò chơi, vận trù học, bài toán quy hoạch, lôgic mời... và được áp dụng trong hầu hết các ngành khoa học. Có thể nói vắn tắt về bài toán tối ưu rằng: Xuất phát từ một số điều kiện, cần chọn phương án thực hiện để có kết quả tốt nhất về kinh tế và tiết kiệm thời gian. Như thế, tìm hiểu về bài toán tối ưu sẽ có ích không chỉ cho từng cá nhân mà còn cho cả tập thể, cộng đồng hay cả xã hội.

Năm 1964, GS. Hoàng Tụy đã công bố một công trình mà sau này người ta gọi là lát cắt Tụy, mở đường cho sự phát triển của lí thuyết tối ưu toàn cục, một ngành thuộc bài toán tối ưu. Cần biết rằng tại thời điểm đó trên thế giới mới chỉ có được một vài kết quả về lý thuyết tối ưu địa phương, nghĩa là công trình của GS là một kết quả tổng quát. Kể từ thời điểm đó, dưới sự tiên phong của GS. Hoàng Tụy, thế giới đã biết đến trường phái toán học Hà Nội, với nhiều kết quả thu được tiếp theo. Vì những đóng góp của mình, tháng 7-2011, GS đã được trao giải Constantin Caratheodory lần thứ nhất, một giải thưởng trao 2 năm một lần, do tổ chức Tối ưu toàn cục trao tặng cho những cống hiến căn bản cho lý thuyết, lập trình và ứng dụng trong lĩnh vực tối ưu toàn cục đã trải qua sự thử thách của thời gian.

Ứng dụng của bài toán tối ưu là rất lớn và luôn có mặt ngay cả trong đời sống hằng ngày. Các em hãy quan sát và tìm hiểu nhiều hơn nhé.

Bài tập kỳ này. Thay giả thiết bài toán trên thành có hai người đi ô tô cùng một người đi xe máy đến mua xăng. Tính thời gian mua xăng tổng cộng của ba người trong các trường hợp.

Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi "Học mà chơi - Chơi mà học" của Báo Hànộimới.