Toán bất biến

Bài 1. Tìm hai số chẵn liên tiếp có tổng bằng 2010.
Giải. Hai số chẵn hơn nhau 2 đơn vị.
Số lớn là (2010 + 2) : 2 = 1006.
Số bé là 1006 - 2 = 1004.
Bài 2. Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 2013 biết giữa chúng có 3 số lẻ khác nhau.
Giải. Vì tổng hai số cần tìm là số lẻ nên trong hai số có một số chẵn, một số lẻ.
Mà giữa hai số có 3 số lẻ nên hiệu hai số bằng 7.
Số lớn là (2013 + 7) : 2 = 1010.
Số bé là 1010 - 7 = 1003.
Bài 3. Tìm một phân số biết tổng của tử số với mẫu số bằng 100 và phân số đó bằng phân số 2/3.
Giải. Tử số là 100 : (2 + 3) × 2 = 40.
Mẫu số là 100 - 40 = 60.
Bài 4. Mẹ hơn con 25 tuổi. 5 năm trước tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Tính tuổi của mẹ và con hiện tại.
Giải. 5 năm trước mẹ hơn con 25 tuổi.
Tuổi con 5 năm trước là 25 : (6 - 1) = 5 (tuổi).
Tuổi con hiện tại là 5 + 5 = 10 (tuổi).
Tuổi mẹ hiện tại là 10 + 25 = 35 (tuổi).
Bài 5. Cho phân số 101/21. Hãy tìm một số tự nhiên để khi cộng thêm số đó vào cả tử số và mẫu số thì được phân số bằng 5/3.
Giải. Hiệu của tử số trừ đi mẫu số của phân số ban đầu là 101 - 21 = 80.
Khi cộng cả tử số và mẫu số với cùng một số thì hiệu của tử số với mẫu số của phân số mới vẫn bằng 80.
Mẫu số mới là 80 : (5 - 3) × 3 = 120.
Số cần tìm là 120 - 21 = 99.
Bài 6. Cho phân số 97/53. Hãy tìm một số tự nhiên để khi tử số trừ đi số đó và cộng số đó vào mẫu số thì được phân số bằng 3/2.
Giải. Tổng của tử số và mẫu số là 97 + 53 = 150.
Khi tử số trừ đi một số và mẫu số cộng thêm số đó thì tổng của tử số với mẫu số của phân số mới vẫn bằng 150.
Tử số mới là 150 : (3 + 2) × 3 = 90.
Số cần tìm là 97 - 90 = 7.
Bài 7. Trên bảng viết 10 số tự nhiên từ 1 đến 10. Ta thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần ta xóa đi hai số a và b bất kỳ rồi viết lên bảng số a + b + 1. Hỏi sau 9 lần thực hiện trò chơi thì trên bảng còn lại số nào?
Giải. Tổng 10 số ban đầu là 1 + 2 +... + 10 = 55.
Mỗi lần thực hiện trò chơi thì tổng các số còn lại trên bảng sẽ tăng 1 đơn vị và bảng giảm đi một số.
Sau 9 lần thực hiện trò chơi, bảng còn lại một số và tăng 9 đơn vị.
Số còn lại là 55 + 9 = 64.
Kết quả kỳ trước. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 6/19, 7/22, 8/25 (vì 6 < 7 < 8, 1/6 > 1/7 > 1/8, 3 1/6 > 3 1/7 > 3 1/8, 19/6 > 22/7 > 25/8 nên 6/19 < 7/22 < 8/25).
Kỳ này. Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 2014 biết giữa chúng có 10 số lẻ khác nhau. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.