Thuật toán Euclid với phân số (Kỳ 4)

Bài 1. Tìm ước số chung lớn nhất của hai số 16 và 40.

Giải. Cách 1 (Phân tích ra thừa số nguyên tố)

Ta có 16 = 2^4, 40 = 2^3 × 5.

Vậy ước số chung lớn nhất của 16 và 40 là 2^3 = 8.

Cách 2 (Dùng thuật toán Euclid)

Ta có 40 : 16 = 2 dư 8; 16 : 8 = 2, không dư.

Đáp số: 8.

Nhận xét. Từ lời giải bài toán trên theo thuật toán Euclid, ta có kết quả bài toán sau.

Bài 2. Cho phân số a = 40/16.

a) Viết phân số a dưới dạng phân số tối giản;

b) Viết a dưới dạng liên phân số;

c) Viết phân số nghịch đảo của a là 16/40 dưới dạng liên phân số.

Giải. a) Ta có 40 : 8 = 5, 16 : 8 = 2.

Vậy 40/16 = 5/2.

b) Ta có 40/16 = 2 + 1/2 = [2, 2].

c) Vì 40/16 = [2, 2] nên 16/40 = [0, 2, 2].

Bài 3. Xét liên phân số có dạng b = [1, 1, 1,...] (viết n lần số 1).

a) Viết b dưới dạng phân số khi n = 1, 2, 3;

b) Viết các phân số nghịch đảo của b dưới dạng liên phân số khi n = 1, 2, 3.

Giải. a) Với n = 1, ta có b = 1.

Với n = 2, ta có b = 1 + 1/1 = 3/2.

Với n = 3, ta có b = 1 + 1/(1/1 + 1) = 1 + 1/(3/2) = 1 + 2/3 = 5/3.

b) Với n = 1, ta có 1/b = [0, 1].

Với n = 2, ta có 1/b = [0, 1, 1].

Với n = 3, ta có 1/b = [0, 1, 1, 1].

Nhận xét. Khi viết liên phân số b dưới dạng phân số, ta thấy xuất hiện dãy số sau: 1, 1, 2, 3... Xét dãy số Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8... Dãy số này có đặc điểm là mỗi số tiếp theo bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Tức là từ số thứ ba, ta có: 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5... Dãy số này liên quan đến liên phân số b ở trên. Chúng ta cùng tìm hiểu.

Trước hết, cách giải thích sau đây cho ta biết tổng số cành cây sau quá trình sinh trưởng. Giả sử ban đầu ta trồng một cây và cứ sau hai chu kỳ phát triển thì mỗi cành cây sẽ mọc thêm một cành mới. Ta thấy chu kỳ một và chu kỳ hai, cây sẽ chỉ có một cành (1, 1). Đến chu kỳ ba, cây sinh ra một cành mới, tổng số cành là 2. Ở chu kỳ bốn, cành gốc sinh thêm một cành mới, tổng số cành là 3. Đến chu kỳ năm, cành gốc và cành sinh ra ở chu kỳ ba đều sinh ra cành mới, ta được tổng số cành bằng 5. Ở chu kỳ sáu, cành gốc, cành sinh ra ở chu kỳ ba và chu kỳ bốn đều sinh ra cành mới, ta được tổng số cành là 8. Cứ tiếp tục tính toán, ta sẽ thấy tổng số cành của một cây là số thuộc dãy số Fibonacci.

Kết quả kỳ trước. Biểu diễn [1, 2, 3] dưới dạng phân số. Ta có [1, 2, 3] = 1 + 1/(2 + 1/3) = 1 + 1/(7/3) = 1 + 3/7 = 10/7. Trao giải 50.000 đồng/người cho bạn Trương Minh Sơn (lớp 6A9, THCS Nghĩa Tân).

Kỳ này. Đổi liên phân số [1, 1, 1, 1] sang phân số. Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.