Thuật toán Euclid với phân số (kỳ 3)

Như vậy, với thuật toán này, ta có thể giải các dạng toán: tìm ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên; rút gọn phân số; viết một phân số dưới dạng liên phân số. Ta cũng biết đến cách biểu diễn một liên phân số dưới dạng một dãy số tự nhiên. Sau đây là một số bài toán tổng hợp về thuật toán Euclid.

Bài 1. Cho phân số 60/26.

a) Thực hiện thuật toán Euclid với hai số 60, 26;

b) Tìm ước số chung lớn nhất của 60 và 26;

c) Rút gọn phân số 60/26;

d) Viết phân số 60/26 dưới dạng liên phân số.

Giải. a) Ta có 60 : 26 = 2, dư 8; 26 : 8 = 3, dư 2; 8 : 2 = 4, không dư.

b) Ở phép chia cuối cùng không dư, số chia là 2.

Vậy 2 là ước số chung lớn nhất của 60 và 26.

c) Ta có 60 : 2 = 30, 26 : 2 = 13.

Vậy 60/26 = 30/13.

d) Ta có 60/26 = 2 + 1/(3 + 1/4) = [2, 3, 4].

Nhận xét. So sánh lời bài toán trên với bài toán rút gọn phân số 30/13 ở kỳ trước, ta thấy hai phân số bằng nhau là 30/13 và 60/26 đều viết dưới dạng liên phân số giống nhau là [2, 3, 4]. Như vậy, mỗi phân số, tối giản hay không tối giản, đều biểu diễn dưới dạng duy nhất một liên phân số. Tuy nhiên, từ mỗi liên phân số, ta chỉ biểu diễn ngược lại thành một phân số tối giản. Sự khác nhau khi thực hiện thuật toán Euclid là số chia ở phép chia không dư cuối cùng. Ở bộ số (30, 13) thì số chia cuối cùng là 1 nên phân số 30/13 tối giản. Ở bộ số (60, 26) thì số chia cuối cùng là 2 nên phân số 60/26 có thể rút gọn cho 2.

Bây giờ, ta sẽ làm bài toán với phân số nghịch đảo của phân số 60/26 (là phân số mà ta đổi chỗ tử số cho mẫu số).

Bài 2. Câu hỏi tương tự như bài 1 với phân số 26/30.

Giải. a) Ta có 26 : 60 = 0, dư 26; 60 : 26 = 2, dư 8; 26 : 8 = 3, dư 2; 8 : 2 = 4, không dư.

b) Ở phép chia cuối cùng không dư, số chia là 2.

Vậy 2 là ước số chung lớn nhất của 26 và 60.

c) Ta có 26 : 2 = 13, 60 : 2 = 30.

Vậy 26/60 = 13/30.

d) Ta có 26/60 = 0 + 1/(2 + 1/(3 + 1/4)) = [0, 2, 3, 4].

Nhận xét. So sánh lời bài toán 1 với bài toán 2, ta thấy quá trình thực hiện thuật toán Euclid có những phần giống nhau. Từ đó: Ước chung lớn nhất của bộ số (60, 26) và (26, 30) là như nhau; Muốn rút gọn mỗi phân số ta đều chia cho cùng một số. Sự khác nhau ở hai cách viết liên phân số là: Với phân số lớn hơn 1 thì 60/26 = [2, 3, 4], còn phân số nghịch đảo nhỏ hơn 1 sẽ thêm số 0 ở trước như 26/60 = [0, 2, 3, 4].

Bài 3. Biết 31/7 = [4, 2, 3]. Hãy viết phân số 7/31 dưới dạng liên phân số.

Giải. Ta có 7/31 = [0, 4, 2, 3].

Kết quả kỳ trước. Viết phân số 30/13 dưới dạng liên phân số. Ta có 30 : 13 = 2, dư 4; 13 : 4 = 3, dư 1; 4 : 1 không dư. Từ đó 30/13 = 2 + 1/(3 + 1/4) = [2, 3, 4]. Trao giải 50.000 đồng/người cho bạn Trương Minh Sơn (lớp 6A9, THCS Nghĩa Tân).

Kỳ này. Biểu diễn [1, 2, 3] dưới dạng phân số. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.