Tại sao Paul dự đoán đúng?

Nếu đồng xu được tung lên hai lần, khả năng sấp ra, hoặc ngửa, liên tiếp là 0,25 (0,5x0,5) hay 25%. Tương tự như thế này, nếu chúng ta tung đồng xu 5 lần thì khả năng ra sấp, hoặc ngửa, liên tiếp là 0,03125 (0,5x0,5x0,5x0,5x0,5) hay 3,125%. Vậy nếu tung đồng xu 10 lần thì sao? Khi đó, tỷ lệ sẽ là 0,009765625, hay có 0,098% cơ hội đồng xu sẽ xuất hiện một mặt sau 10 lần tung liên tiếp.

Điều đó có nghĩa là cho dù có tung đồng xu bao nhiêu lần, cơ hội cùng ra một mặt sẽ nhỏ đi, nhưng vẫn luôn tồn tại. Áp dụng những điều đó vào những dự đoán của Paul, với việc mỗi trận đấu luôn có kết quả thắng thua từ vòng loại trực tiếp, thì khả năng Paul dự đoán đúng một trận riêng lẻ là 50%. Giờ đây Paul đã dự đoán đúng kết quả cả 6 trận của tuyển Đức. Khả năng điều đó xảy ra , theo xác suất, là 1,5625%, khá nhỏ nhưng không phải là vô vọng.

Cho nên có lẽ Paul không phải là một phép màu, mà chỉ là sự may mắn. Hiện tượng này có thể áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống. Jonh Allen Paulos trong quyển A Mathematican Plays the Stock Market (Một nhà toán học làm điên đảo thị trường chứng khoán). Nhà toán học trong quyển sách đó sẽ gửi một lá thư dự đoán cho 64.000 người chơi chứng khoán trong tuần lễ đầu tiên. Một nửa thư dự đoán chỉ số chứng khoán sẽ tăng, một nửa dự đoán nó sẽ giảm. Dù cho điều gì xảy ra, khoảng 32.000 người sẽ nhận được dự đoán chính xác. Nhà toán học tiếp tục lặp lại quá trình đó, nhưng lần này chỉ với một nửa những người dự đoán chính xác. Như thế sẽ có 16.000 người nhận dự đoán chính xác trong tuần lễ tiếp theo. Cứ tiếp tục như thế, đến tuần lễ thứ 6, sẽ còn lại 1000 người nhận được dự đoán chính xác trong 6 tuần liên tiếp. Kể từ đây, những người nào muốn nhân thư tiếp sẽ phải trả tiền, và rõ ràng họ sẵn sàng trả.

Hiện tượng Paul cũng gần như thế. Nassem Nicholas Taleb, trong cuốn sách Fooled by Randomness (Bị sự ngẫu nhiên lừa phỉnh) mà ông viết trước khi hoàn tất quyển sách nổi tiếng The Black Swan (Con thiên nga đen), giải thích hiện tượng này: “ Nếu một người đặt một số lượng vô hạn định những chú khỉ phía trước một lượng vô hạn định những máy đánh chữ và để mặc cho chúng muốn làm gì thì làm, chắc chắn sẽ có một chú khỉ gõ chính xác bản trường ca Illiad. Tuy nhiên, vấn đề là bạn đã tìm ra người hùng trong số những chú khỉ đó, bạn có dám cả cá cược rằng chú ta sẽ gõ được bản trường ca Oddesssney nữa không?