Số hồi văn

Người ta đã lập bảng các số hồi văn nhỏ hơn 100000 tại website mathforum.net. Website palindromelist.net lại tập hợp các từ, ngữ hoặc một câu bằng tiếng Anh là hồi văn. Trên trang mạng này, mọi người có thể bổ sung thêm nếu tìm được hồi văn mới hơn. Trước khi tìm hiểu về số hồi văn, loài người đã tìm hiểu về các chữ hồi văn (như chữ tốt trong tiếng Việt hoặc chữ dad trong tiếng Anh). Chữ hồi văn sớm nhất được tìm thấy trong tác phẩm của nhà thơ Sotades người Hy Lạp, sống khoảng thế kỷ thứ III trước Công nguyên. Chữ hồi văn cũng được tìm thấy trong các bản chữ tượng hình của người Ai Cập và trong các bản chữ Latin cổ. Việc tìm hiểu về số hồi văn cũng như chữ hồi văn được loài người biết đến từ rất sớm, nhưng mãi gần đây người ta mới biết đến nhiều ứng dụng của nó, chẳng hạn như trong cấu tạo của chất hữu cơ hay cấu tạo gen trong mã di truyền ADN...

Số hồi văn có thể là một lũy thừa (là tích các số giống nhau). Chẳng hạn, những số hồi văn chính phương (số có dạng a   a) là 0, 1, 4, 9, 121, 848, 767, 10201... ; những số hồi văn là lập phương (số có dạng a   a   a) là 2, 8, 343, 1331... Với lịch thì người ta quan tâm xem trong thế kỷ nào đó có năm nào là số hồi văn hay không. Chẳng hạn trước năm 2011 có năm 2002, còn sau năm 2011 sẽ là năm 2112. Cũng vậy, với ngày thì ta viết liền nhau theo thứ tự ngày, tháng, năm thì ngày nào sẽ tạo thành số hồi văn? Chẳng hạn trong năm 2011 có ngày 11 tháng 2 được viết thành số hồi văn là 11022011...

Bây giờ ta làm một số bài toán liên quan đến số hồi văn.

Bài toán 1. Có bao nhiêu số hồi văn có 3 chữ số?

Bài làm. Số hồi văn có 3 chữ số có dạng aba. Chữ số a có 9 cách chọn là 1, 2,... , 9 còn chữ số b có 10 cách chọn từ 0 đến 9. Vậy có 9   10 = 90 số hồi văn có 3 chữ số.

Bài toán 2. Hai số hồi văn đều lớn hơn 10 và hơn kém nhau 10 đơn vị. Tìm hai số này sao cho tổng của chúng nhỏ nhất.

Bài làm. Hai số hơn kém nhau 10 đơn vị phải có chữ số hàng chục hơn kém nhau 1 đơn vị, còn các chữ số ở hàng khác thì bằng nhau. Vì cả hai số đều lớn hơn 10 nên có ít nhất 3 chữ số. Từ đó tìm được hai số hồi văn có tổng nhỏ nhất là 101 và 111.

Bài toán 3. Đồng hồ đo khoảng cách (công tơ mét) của một chiếc ô tô đang chạy trên đường chỉ số 30903 (đơn vị km), là một số hồi văn. Hai giờ sau, đồng hồ cũng chỉ một số hồi văn và gần số 30903 nhất. Tính vận tốc trung bình của ô tô.

Bài làm. Số hồi văn tiếp theo là: 31013. Quãng đường đi được là: 31013 - 30903 = 110 (km). Vận tốc trung bình là: 110 : 2 = 55 (km/h).

Bài toán 4. Dùng các chữ số 0, 4, 5 thì viết được bao nhiêu số hồi văn biết rằng mỗi chữ số đều được sử dụng ít nhất một lần và không quá hai lần?

Bài làm. Số hồi văn có dạng abccba hoặc abcba. Trong đó a có hai cách chọn là 4 hoặc 5, b có hai cách chọn (b khác a), còn c là số còn lại trong ba số 0, 4, 5. Vậy có 2   2   2   1 = 8 (số hồi văn).

Bài toán 5. Lấy số 354 cộng với số hồi văn của nó được số x. Lại cộng x với số hồi văn của nó để được số y, rồi lại lấy y cộng với số hồi văn của nó để được số z. Hỏi z là số nào?

Bài làm. x = 354 + 453 = 807; y = 807 + 708 = 1515; z = 1515 + 5151 = 6666.

Nhận xét. z là một số hồi văn. Có nhiều cách tạo ra số hồi văn, trong đó có cách như ở bài toán trên: ban đầu chọn một số bất kỳ rồi đem cộng với số hồi văn của nó để được số mới. Lại lấy số mới vừa tạo được đem cộng với số hồi văn của nó... Quá trình tiếp tục cho đến khi số được tạo thành là một số hồi văn. Người ta ghi được rằng hầu hết các số được chọn ban đầu đều tạo ra số hồi văn sau một số hữu hạn bước làm như trên.

Bài kỳ này: Tìm số hồi văn có ba chữ số thỏa mãn các yếu tố sau: các chữ số đều lẻ và khác nhau; tổng của ba chữ số là một số hồi văn; tổng của chữ số hàng trăm với chữ số hàng chục gấp đôi tổng của chữ số hàng trăm với chữ số hàng đơn vị.

Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi "Học mà chơi - chơi mà học" của Báo Hànộimới.