Thuật toán Euclid với phân số (Kỳ 2)

Bài 1. Rút gọn phân số 100/150.

Giải: Cách 1. (Phân tích tử số và mẫu số ra thừa số nguyên tố)

Ta có 100 = 2 x 2 x 5 x 5, 150 = 2 x 3 x 5 x 5.

Từ đó, 100 và 150 có ước chung là 2 x 5 x 5 nên phân số rút gọn của 100/150 là 2/3.

Nhận xét: Để rút gọn phân số 100/150, ta có thể rút gọn qua nhiều bước. Chẳng hạn 100/150 = 10/15 (rút gọn cho 10) = 2/3 (rút gọn cho 5).

Cách 2. (Dùng thuật toán Euclid)

Bộ số ban đầu (150, 100). Ta có 150 : 100 dư 50. Ta được bộ số mới là (100, 50).

Ta có 100 : 50 không dư. Vậy 50 là số cần chia.

Ta có 100 : 50 = 2, 150 : 50 = 3.

Ta được 100/150 = 2/3.

Bài 2. Rút gọn phân số 505/503.

Nhận xét. Nếu ta tìm ước số chung của 505 và 503 theo cách 1 thì sẽ dài và khó. Sử dụng thuật toán Euclid sẽ nhanh hơn.

Giải. Bộ số ban đầu (505, 503). Ta có 505 : 503 dư 2. Ta được bộ số mới là (503, 2).

Ta có 503 : 2 dư 1. Bộ số mới là (2, 1). Ta có 2 : 1 không dư. Vậy 1 là số cần chia nên phân số 505/503 tối giản.

Nhận xét: Sử dụng thuật toán Euclid không chỉ giúp ta tìm ra ước số chung của hai số tự nhiên nhằm rút gọn phân số mà còn giúp ta viết một phân số dưới dạng một phân số nhiều tầng, trong đó tử số của mỗi phân số luôn là 1. Ta gọi đó là liên phân số hay phân số liên tục. Ngược lại, một liên phân số có thể biểu diễn một số tự nhiên, một số thập phân hoặc một phân số bất kỳ.

Để hiểu về liên phân số, ta hãy cùng xem một số bài toán sau.

Bài 3. Viết tổng a = 2 + 1/3 dưới dạng phân số.

Giải. Ta có a = 2 + 1/3 = 6/3 + 1/3 = (6 + 1)/3 = 7/3.

Bài 4. Viết tổng b = 4 + 1/a dưới dạng phân số.

Giải. Vì a = 7/3 nên 1/a = 3/7. Ta có b = 4 + 3/7 = 28/7 + 3/7 = (28 + 3)/7 = 31/7.

Nhận xét. Các phân số a = 2 + 1/3 và b = 4 + 1/a = 4 + 1/(2 + 1/3) là những liên phân số. Để thuận tiện, ta viết a = [2, 3], b = [4, 2, 3].

Bây giờ, ta sẽ làm bài toán ngược lại.

Bài 5. Viết phân số 31/7 dưới dạng liên phân số.

Giải. Bộ số (tử số, mẫu số) là (31, 7). Ta có 31 : 7 = 4 dư 3. Ta được bộ số mới là (7, 3). Ta có

7 : 3 = 2 dư 1. Ta có bộ số mới là (3, 1). Ta thấy 3 : 1 = 3 không dư.

Dãy các thương trong quá trình thực hiện là 4, 2, 3.

Từ đó 31/7 = [4, 2, 3] = 4 + 1 /(2 + 1/3).

Kết quả kỳ trước: Rút gọn phân số 48/160 bằng thuật toán Euclid: Bộ số ban đầu (160, 48). Ta có 160 : 48 dư 16, 48 : 16 không dư. Từ đó, ta rút gọn cả tử số và mẫu số cho 16. Ta có 48 : 16 = 3, 160 : 16 = 10. Đáp số: 48/160 = 3/10. Trao giải 50.000 đồng/người cho các bạn Phạm Thu Hà (số 3 đường Giải Phóng), Nguyễn Như Quỳnh (số 5 Xuân Diệu), Đỗ Ngọc Bích (79D Lý Nam Đế), Phạm Quỳnh Trang (tập thể Giảng Võ).

Kỳ này: Viết phân số 30/13 dưới dạng liên phân số. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.