Thuật toán Euclid với phân số

1) Khi nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số thì ta được phân số mới bằng phân số đã cho.

2) Khi chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được phân số mới bằng phân số đã cho.

Ví dụ 1. Với phân số 2/3, ta lấy 2x5 = 10, 3x5 = 15, ta được phân số mới là 10/15. Ta có 10/15 = 2/3.

Ví dụ 2. Với phân số 8/6, ta thấy 8 và 6 cùng chia hết cho 2. Ta lấy 8 : 2 = 4, 6 : 2 = 3, ta được phân số mới là 4/3. Ta có 4/3 = 8/6.

Ở ví dụ 2, ta đưa phân số 8/6 về phân số bằng với nó là 4/3. Hai số 4 và 3 không có ước số chung, ta gọi 4/3 là phân số tối giản. Ta vừa thực hiện xong bài toán rút gọn phân số 8/6. Đây là bài toán rất quen thuộc với hầu hết các bạn học sinh. Với những phân số có mà tử số và mẫu số dễ dàng viết được thành tích các số nguyên tố hoặc tử số chia hết cho mẫu số hay ngược lại thì bài toán rút gọn phân số là tương đối dễ.

Bài 1. Rút gọn phân số 15/20.

Giải. Ta có 15 : 5 = 3, 20 : 5 = 4. Ta được 15/20 = 3/4.

Bài 2. Rút gọn phân số 16/32.

Giải. Ta có 32 : 16 = 2. Ta được 16/32 = 1/2.

Bài 3. Rút gọn phân số 1001/489.

Nhận xét. Ta thấy việc giải bài 3 khó hơn việc giải các bài 1 và 2. Để giải bài 3, ta cần tìm ước chung của hai số 1001 và 489. Ta thấy 1001 không chia hết cho 489, tức là ta không thể giải theo hướng của bài 2.

Giải. Ta có 1001 = 7x11x13, 489 = 3x163.

Từ đó 1001 và 489 có ước số chung nên phân số 1001/489 tối giản.

Bây giờ, ta dùng thuật toán Euclid để giải bài toán rút gọn phân số.

Ở ví dụ 2, ban đầu ta có bộ số (8, 6), với 8 > 6. Ta có 8 : 6 được thương là 1 dư 2. Lấy số chia và số dư để được bộ số mới là (6, 2). Từ bộ số mới, ta có 6 : 2 = 3, không dư. Số 2 chính là số cần chia.

Ở bài 1, ta có bộ số (15, 20). Vì 15 < 20 nên ta đổi chỗ hai số để số đứng trước lớn hơn, ta được (20, 15). Ta có 20 : 15 dư 5. Ta được bộ số mới là (15, 5), ta có 15 : 5 không dư. Từ đó 5 chính là số cần chia.

Ở bài 3, ta có bộ số (1001, 489). Ta có 1001 : 489 dư 23. Từ bộ số mới là (489, 23), ta có 489 : 23 dư 6. Ta lại được bộ số (23, 6). Tiếp tục thực hiện, ta được hai bộ số mới là (6, 5), (5, 1). Đến đây, vì 5 chia hết cho 1 nên 1 chính là số cần chia. Vậy phân số 1001/489 tối giản.

Kết quả kỳ trước. Ta thấy số 513 có thể được ghép từ những dãy số sau: (5, 1, 3), (51, 3), (5, 13) và (513). Ta thấy 1, 51, 513 không là số nguyên tố (vì 51 = 3x17, 513 = 3x171). Bộ số (5, 13) thỏa mãn vì 5, 13 là hai số nguyên tố và 5 < 13. Ta có 5x13 = 65. Đáp số: 65. Trao giải 50.000đ/người cho các bạn Trương Minh Sơn (lớp 6A9, THCS Nghĩa Tân), Nguyễn Minh Ngọc (15/491 Kim Mã), Đặng Bảo Linh (34 Tôn Đức Thắng), Nguyễn Trúc Quỳnh (số 6 Đại Cồ Việt), Đặng Thu Thảo (số 8 Giảng Võ).

Kỳ này. Rút gọn phân số 48/160 bằng thuật toán Euclid. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.