Euclid với thuật toán số nguyên tố (Kỳ 3)

Quy tắc thực hiện như sau: Với mỗi số tự nhiên là hợp số, sau khi ta viết số đó thành tích các thừa số nguyên tố, ta sắp xếp các thừa số này theo thứ tự không giảm. Số tự nhiên được tạo thành từ dãy số nguyên tố được sắp xếp chính là mật mã của số tự nhiên. Chẳng hạn, với số tự nhiên 90, ta có 90 = 2 x 3 x 3 x 5 nên mật mã là 2335.

Bài 1. Tìm mật mã của số 60.
Giải. Ta có 60 = 2 x 2 x 3 x 5.
Đáp số: 2235.

Bài 2. Tìm mật mã của số 1000.
Giải. Ta có 1000 = 10 x 10 x 10 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5.
Đáp số: 222555.

Bài 3. Tìm các số tự nhiên nhỏ hơn 30 có mật mã. Viết mật mã tương ứng của những số đó.
Giải. Những số có mật mã là những hợp số.
Ta có 4 = 2 x 2 nên 4 có mật mã là 22.
Tương tự: 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x 2, 9 = 3 x 3, 10 = 2 x 5, 12 = 2 x 2 x 3, 14 = 2 x 7, 15 = 3 x 5, 16 = 2 x 2 x 2 x 2, 18 = 2 x 3 x 3, 20 = 2 x 2 x 5, 21 = 3 x 7, 22 = 2 x 11, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, 25 = 5 x 5, 26 = 2 x 13, 27 = 3 x 3 x 3, 28 = 2 x 2 x 7.
Đáp số: 4 (mật mã là 22), 6 (23), 8 (222), 9 (33), 10 (25), 12 (223), 14 (27), 15 (35), 16 (2222), 18 (233), 20 (225), 21 (37), 22 (211), 24 (2223), 25 (55), 26 (213), 27 (333), 28 (227).
Nhận xét. Phân tích một số tự nhiên thành tích những thừa số nguyên tố là bài toán khó. Bài toán ngược cũng khó tương tự: Từ mật mã, tìm ra số tự nhiên ban đầu.

Bài 4. Tìm các số tự nhiên có mật mã là một số tự nhiên nhỏ hơn 30.
Giải. Ta chỉ xét các số tự nhiên có hai chữ số và chữ số hàng chục bằng 2.
Vì 2 là số nguyên tố nên chữ số hàng đơn vị cũng là số nguyên tố.
Ta tìm được các mật mã là 22, 23, 25, 27.
Ta có 2 x 2 = 4, 2 x 3 = 6, 2 x 5 = 10, 2 x 7 = 14.
Đáp số: 4, 6, 10, 14.

Bài 5. Biết mật mã là 225. Tìm số tự nhiên ban đầu.
Giải. Số 225 có thể được ghép từ những dãy số sau: (2, 2, 5), (2, 25), (22, 5), (225).
Vì 25 = 5 x 5, 22 = 2 x 11, 225 = 3 x 3 x 5 x 5 nên các số 25, 22 và 225 đều không là số nguyên tố.
Bộ số (2, 2, 5) gồm những số nguyên tố viết theo thứ tự không giảm là 2, 2, 5 nên cách ghép này thỏa mãn.
Ta có 2 x 2 x 5 = 20.
Đáp số: 20.
Kết quả kỳ trước. Cách 1. Hai dãy số chia hết cho 15, 20 là: 15, 30, 45, 60... và 20, 40, 60...
Từ đó số nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả 15 và 20 là 60.
Cách 2. Ta có 15 = 3 x 5, 20 = 2 x 2 x 5.
Ta được 2 x 2 x 3 x 5 = 60.
Đáp số: 60.

Kỳ này. Biết mật mã là 513. Tìm số tự nhiên ban đầu. Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.