Từ Pythagore đến phép khai căn

Tính chất này đã được nhiều nền văn minh trước thời ông phát hiện ra. Tuy nhiên, trường phái toán học do ông lập ra đã chứng minh được tính chất này đầu tiên. Đến nay, có rất nhiều cách khác nhau để chứng minh định lý này.

Ta thấy khi biết chiều dài hai cạnh của tam giác vuông, ta sẽ biết diện tích của hình vuông dựng trên cạnh huyền. Vấn đề đặt ra là cần tính chiều dài cạnh huyền, gọi là phép khai căn bậc hai. Từ xa xưa, việc tìm ra chiều dài này dựa trên bảng tính tích. Chẳng hạn, với tam giác vuông cân có cạnh bằng 1 thì chiều dài cạnh huyền là x thỏa mãn x × x = 1 × 1 + 1 × 1 = 2. Ta không tìm được số thập phân x nào thỏa mãn x × x = 2 nhưng có thể tìm số gần bằng. Phương pháp tìm x dựa vào bảng số được thực hiện như sau: Ban đầu, ta có 1 × 1 < x × x < 2 × 2 nên 1 < x < 2. Sau đó, ta xem các tích trong bảng: 1,1 × 1,1; 1,2 × 1,2; 1,3 × 1,3; 1,4 × 1,4; 1,5 × 1,5 thì thấy 2 nằm giữa 1,4 ×

1,4 = 1,96 và 1,5 × 1,5 = 2,25. Do đó 1,4 < x < 1,5. Đến đây, ta lại tiếp tục xem các tích 1,41 × 1,41; 1,42 × 1,42... Việc tra bảng tuy mất công nhưng vẫn có thể tìm ra được x với nhiều chữ số sau dấu phẩy. Ngoài việc tra bảng như trên, ta còn một cách khác nữa để tìm x.

Bài 1. Tìm số đo x (cm) của cạnh hình vuông biết diện tích hình vuông là 1024cm2.

Giải. Bước 1. Từ chữ số hàng đơn vị, ta tách số 1024 thành hai nhóm, mỗi nhóm có hai chữ số là 10 và 24. Bước 2. Xét nhóm đầu tiên bên trái là số 10. Chữ số a lớn nhất mà a × a không lớn hơn 10 là a = 3. Ta được chữ số đầu tiên của x là 3. Bước 3. Xét hiệu 10 - 3 × 3 = 1. Ta ghép hiệu này với nhóm 24 được số 124. Bước 4. Nhân số a = 3 vừa tìm được với 2 được số 6. Ta tìm chữ số b để 6b × b không lớn hơn 124. Ta được b = 2 và hai chữ số đầu tiên của x là 32. Bước 5. (lặp lại bước 3) Xét hiệu 124 - 62 × 2 = 0. Vậy x = 32.

Chú ý. Trong bài toán trên, nếu ở bước 5 mà hiệu khác 0 thì ta thực hiện việc ghép tiếp với nhóm hai chữ số tiếp theo. Nếu nhóm hai chữ số sau không có thì ta thay bằng hai số 00.

Bài 2. Tìm số đo x (m) cạnh của một mảnh đất hình vuông biết diện tích mảnh đất là 370881m2.

Giải. Bước 1. Ta tách số 370881 thành ba nhóm là 37, 08 và 81. Bước 2. Chữ số a lớn nhất mà a × a không lớn hơn 37 là a = 6. Ta được chữ số đầu tiên của x là 6. Bước 3. Xét hiệu 37 - 6 × 6 = 1. Ta ghép hiệu này với nhóm 08 được số 108. Bước 4. Nhân số a = 6 vừa tìm được với 2 được số 12. Ta tìm chữ số b để 12b × b không lớn hơn 108. Ta được b = 0 và hai chữ số đầu tiên của x là ab = 60. Bước 5. Xét hiệu 108 - 120 × 0 = 108. Ta ghép hiệu này với nhóm tiếp theo được 10881. Nhân số ab = 60 với 2 được 120. Ta tìm chữ số c để 120c × c không lớn hơn 10881. Ta tìm được c = 9 và ba chữ số đầu tiên của x là abc = 609. Bước 6. Xét hiệu 10881 - 1209 × 9 = 0. Vậy x = abc = 609.

Kết quả kỳ trước. Tìm cạnh hình vuông biết diện tích hình vuông là: a)1849cm2. Số tự nhiên a lớn nhất mà a × a không lớn hơn 18 là 4. Có hai chữ số b là 3, 7 để b × b có chữ số tận cùng là 9. Thử lại 43 × 43 = 1849. Vậy cạnh hình vuông là 43cm. b) 12996cm2. Số tự nhiên a lớn nhất mà a × a không lớn hơn 129 là 11. Có hai chữ số b là 4 và 6 để b × b có chữ số tận cùng là 6. Thử lại 114 × 114 = 12996. Vậy cạnh hình vuông là 114cm. Trao giải 50.000đ/người cho bạn Ngô Minh Anh (12 Hàng Thùng).

Kỳ này. Tìm số đo x (m) của một mảnh đất hình vuông biết diện tích mảnh đất là 101124m2. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.