Từ Euclid đến phi Euclid

Cũng giống như xây dựng những phép tính cơ bản trong số học, người ta thiết lập phép cộng từ những số đếm, rồi từ đó tạo ra phép trừ, phép nhân rồi phép chia. Ban đầu là làm toán với dạng cụ thể như: "Hai quả táo cộng thêm ba quả táo thì bằng bao nhiêu quả táo?". Sau đó sẽ được học phép tính tổng quát là: "Hai cộng ba bằng bao nhiêu?". Lý thuyết tiên đề của Euclid cũng vậy. Ban đầu định nghĩa về hình như: Điểm là cái gì không thể thu nhỏ được nữa; Đường là chỉ có chiều dài chứ không có chiều rộng... Sau đó công nhận một số tiên đề, là những tính chất không cần và không thể chứng minh (như tính chất giao hoán của phép cộng trong số học). Cuối cùng phát biểu một số định lý (định đề). Từ đó, mọi tính chất của hình học đều có thể được chứng minh dựa trên toàn bộ lý thuyết này. Về sau, nhân loại gọi chung cả 5 định đề và 5 tiên đề của Euclid là 10 tiên đề.

Mỗi lý thuyết tiên đề luôn mang tính tổng quát. Chẳng hạn nếu ta định nghĩa mỗi hành tinh là một điểm, mỗi đường di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác của hành tinh là một đường thẳng và tiếp tục xây dựng những định nghĩa khác thì mọi tính chất trong mô hình này đều phải đúng tương ứng với hình học Euclid. Tiếc là tiên đề V không thỏa mãn, không đúng trong một số mô hình cũng như không thể chứng minh được từ các tiên đề khác của hình học này. Nghĩa là nó vô lý. Đồng thời, cả ba nhà toán học cùng khẳng định như vậy. Đây chính là tiền đề ra đời thuyết tương đối của Einstein. Thực nghiệm khẳng định lý thuyết của Einstein đúng, đồng nghĩa với hình học phi Euclid hình thành đầu tiên mà sau này gọi là hình học Lobachevsky - Bolyai đúng. Thử tưởng tượng bây giờ, sau 100 năm hình thành và đã được công nhận, thuyết tương đối của Einstein khẳng định rằng: Càng chuyển động với vận tốc lớn thì khối lượng của vật càng tăng và thời gian càng chậm lại. Thật khó tưởng tượng!

Cũng vậy, hình học phi Euclid rất khó tưởng tượng về mặt trực giác. Nhưng chỉ cần bỏ tiên đề V, thay nó bằng tiên đề phủ định nó, ta sẽ có một lý thuyết hình học hoàn chỉnh. Einstein may mắn khi thời đại của ông khoa học kỹ thuật phát triển đã khẳng định tính đúng đắn của thuyết tương đối. Nhưng thế kỷ XIX thì chưa được như vậy. C.F.Gauss thì tin là nhân loại sẽ không hiểu khám phá này của mình nên không công bố. Điều đó đúng với tính cách cầu toàn của ông, nhiều công trình khoa học của ông cũng không được ông công bố vì nó đi trước thời đại. Chỉ có hai nhà toán học dám công bố nó và đều phải chịu đựng số phận khắc nghiệt. Làm khoa học đôi khi thật khắc nghiệt! Vậy đâu là bản lĩnh khoa học? Kỳ sau ta sẽ cùng tìm hiểu.

Kết quả kỳ trước. Trong 20 chữ số đầu tiên của pi, xác suất xuất hiện tương ứng các chữ số là 0: 0; 6, 7: 1/20; 1, 2, 4, 8: 1/10; 5, 9: 3/20; 3: 1/5.

Kì này. Ngày ra đời của hình học phi Euclid? Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học - Học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.