Phép toán hai ngôi là gì?

Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng và trừu tượng hóa của bộ môn số học. Trong đại số, các chữ số được dùng để đại diện cho các số. Chẳng hạn như trong biểu thức a + (a + 1) = 2 x a + 1 thì chữ a đại diện cho một số bất kỳ, đó là một biểu thức đại số. Nó khác với biểu thức 2 + 3 = 5 thuộc về số học.

Trong đại số thì lý thuyết nhóm đóng vai trò quan trọng. Lý thuyết nhóm ra đời vào năm 1830 bởi nhà toán học người Pháp Évariste Galois (1811 - 1832). Công trình này đã giải quyết trọn vẹn lý thuyết về phương trình đại số mà loài người mất gần 4000 năm mới có thể hoàn thành. Để tìm hiểu về phương trình đại số, ta hãy xem bài toán 1: "Tìm x, biết 2 x  x + 1 = 5". Đó là một phương trình đại số. Người ta gọi đó là phương trình bậc nhất. Trong bài toán 2 sau đây, người ta gọi là phương trình đại số bậc hai: "Tìm x, biết x x x + 1 = 5". Ở đây biểu thức có hai số x nhân với nhau. Cứ tiếp tục như vậy, ta có các phương trình đại số bậc cao hơn như bậc ba, bậc bốn...

Câu hỏi đặt ra là: Với một phương trình đại số, ta có tìm được số x thỏa mãn đề bài hay không và cách tìm như thế nào? Hai bài toán trên các bạn học sinh lớp 2, 3 tiểu học đều có thể giải được. Nhưng nếu đề bài khó hơn, chẳng hạn bài toán 3 sau đây thì phải những bạn học giỏi mới biết cách giải: "Tìm x, biết x x x - 2 x x = 3". Cứ như thế, đại số phát triển trở nên khó dần. Ta sẽ nói tiếp về lịch sử sự phát triển này sau.

Để trả lời câu hỏi trên, lý thuyết nhóm được xây dựng bắt đầu từ những điều đơn giản nhất của số học để tổng quát và trừu tượng hóa, bắt đầu từ phép toán hai ngôi. Trong số học, số đếm được coi là khởi đầu. Tiếp sau là đến phép cộng. Phép cộng có hai tính chất cơ bản là giao hoán và cộng với 0:
1) a + b = b + a
2) a + 0 = 0 + a = a.

Sau phép cộng là phép nhân, đó là cộng nhiều số bằng nhau. Tương tự, phép nhân cũng có hai tính chất cơ bản đầu tiên là giao hoán và nhân với 1:
1) a x b = b x a
2) a x 1 = 1 x a = a.

Từ hai phép toán trên, bắt đầu nhen nhóm hình thành phép toán hai ngôi cùng những tính chất ban đầu.

Phép toán hai ngôi là phép toán hình thành từ hai phần tử để ra một phần tử cùng loại.

Ví dụ như tổng hai số ra một số, tích hai số ra một số. Lấy số dư hay lấy thương khi chia một số cho một số cũng là những phép toán hai ngôi. Ở các lớp lớn hơn, các bạn sẽ được học rất nhiều phép toán hai ngôi như: phân số, lũy thừa, căn thức, hàm số mũ... Phân số là một phép toán hai ngôi giữa tử số và mẫu số (khác 0). Ta hãy tìm hiểu phép toán hai ngôi bắt đầu từ hai phép toán cộng và nhân. Cứ cho hai số a, b bất kỳ, ta có một số bằng tổng của a với b. Kết quả này cùng loại với hai số ban đầu. Để phân biệt, ta lấy ví dụ về diện tích hình chữ nhật: Cứ cho hai kích thước bằng đơn vị mét của một hình chữ nhật sẽ tương ứng với một số là số đo diện tích của hình chữ nhật đó. Số này có đơn vị mét vuông, khác đơn vị với hai số ban đầu nên đây không phải là phép toán hai ngôi. Ngược lại, chu vi của hình chữ nhật lại là một phép toán hai ngôi: C = 2 x (a + b), với C là chu vi và a, b là hai kích thước của hình chữ nhật.

Câu hỏi kỳ này. Các bạn hãy giải 3 bài toán ở trên.
Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.