Những con số nhảy múa cùng phép toán

Bài làm. 1 + 2 + 6 = 9,
6 + 1 - 2 = 5, 6 - 1 + 2 = 7,
6 - 1 - 2 = 3, 6 : 2 + 1 = 4,
6 x 1 + 2 = 7, 6 : (2 - 1) = 6, (6 : 2) - 1 = 2...

Nhận xét. 1) Rất khó để tìm hết các khả năng của bài toán trên. Tuy vậy, ta có thể tìm số nhỏ nhất hoặc lớn nhất có thể biểu diễn được. Nếu không tính đến phân số và lũy thừa thì số lớn nhất biểu diễn được là 18 (= 6 x (1 + 2)), số nhỏ nhất là 2 (= 6 : (1 + 2)). Ta thấy có những kết quả trùng nhau như (6 : 2) - 1 = 6 : (1 + 2) = 2. Bây giờ ta xét bài toán ngược là: "Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1 và nhỏ hơn 19. Hãy biểu diễn n bằng 3 chữ số là: 1, 2, 6 và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia (có thể thêm dấu ngoặc đơn nếu cần)". Ta thấy với n = 17 thì không biểu diễn được.

2) Thử tìm số khả năng biểu diễn các số. Bắt đầu từ 2 số thì có tối đa 4 cách biểu diễn, không tính phép giao hoán. Chẳng hạn với số 1 và 2 thì 4 cách biểu diễn là: 1 + 2, 2 - 1, 2 x 1, 2 : 1. Với 3 số 1, 2, 6 thì coi kết quả của 1 với 2 là 1 số, sau đó ghép với số 6, ta có tối đa 4 x 4 = 16 số. Tương tự, ta có thể ghép 1 với 6 hoặc 2 với 6. Như thế tối đa số cách ghép là 3 x 16 = 48. Với tối đa là 48 cách đặt tính, ta chỉ nhận được tối đa 17 giá trị từ 2 đến 18. Như thế sẽ có nhiều giá trị giống nhau. Bài toán ngược có thể có nhiều cách giải.

Bằng cách trên, ta có thể xây dựng nhiều bài toán đố vui trong lớp học hay trong các hoạt động ngoại khóa nhằm phát triển tư duy toán học.

3) Từ 3 số, ta thêm lên thành 4 số thì bài toán sẽ có nhiều trường hợp hơn. Bằng lập luận tương tự như trên, ta sẽ có tối đa 4 x 4 x 48 = 668 cách.

Bây giờ ta hãy làm bài toán vui sau, như một cách thư giãn trí tuệ.

Bài toán 2. Bằng các phép tính và dấu ngoặc đơn, hãy biểu diễn:
a) Số 6 bằng các số 2, 2, 2 và 5.
b) Số 20 bằng các số 3, 6, 7 và 10.
c) Số 17 bằng các số 1, 2, 3 và 7.
d) Số 7 bằng các số 1, 1, 2 và 9.
e) Số 22 bằng các số 2, 2, 5 và 6.
g) Số 14 bằng các số 3, 4, 6 và 8.
h) Số 38 bằng các số 2, 2, 6 và 7.
i) Số 2 bằng 4 chữ số 2.

Bài làm.
a) (2 x 5) - (2 x 2).
b) (6 + 7 + 10) - 3.
c) (2 x 7) + (3 : 1).
d) (9 - 2) : (1 x 1).
e) 2 x 6 + 2 x 5.
g) 4 x 8 - 3 x 6.
h) 6 x 7 - 2 x 2.
i) (2 : 2) + (2 : 2).

Giải bài kỳ trước.
Tìm chữ số tận cùng. 9 x 9 tận cùng bằng 1; 1 x 1 tận cùng bằng 1. Tích của 2011 số 9 được viết dưới dạng tích của 1005 cặp (9 x 9) với 1 số 9. Bởi vậy số này tận cùng là 9. Phần thưởng kỳ này trao cho bạn Chu Thúy Quỳnh, Trường Marie Curie; Khúc Khánh Quân, 7H2, THCS Trưng Vương.

Bài tập kỳ này.
Bằng các phép tính và dấu ngoặc đơn, hãy biểu diễn số 10 bởi các chữ số 1, 2, 3 và 4. Bạn tìm được bao nhiêu cách?

Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, Tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi "Học mà chơi - chơi mà học" của Báo Hànộimới.