Lịch sử phân số

Khi loài người bắt đầu có sự phân hóa giàu nghèo thì cũng là lúc đồng thời nhu cầu đếm và chia phát sinh. Để chia cho kết quả công bằng, phân số được ra đời. Lịch sử ghi nhận phân số được đưa thành kí hiệu Toán học đầu tiên là của người Ai Cập cách đây khoảng 3.650 năm. Lúc đó, các phân số đều chỉ có tử số là 1, các mẫu số là số tự nhiên lớn hơn 0. Ngày ấy, loài người thống nhất gọi đó là những phân số Ai Cập.

Như thế, để biểu diễn những phân số khác, người ta tìm cách viết nó dưới dạng tổng của nhiều phân số Ai Cập. Chẳng hạn phân số 2/3, 3/4 và 8/6 được viết tương ứng là 1/3 + 1/3, 1/2 + 1/4, 1 + 1/3. Lưu ý là số tự nhiên cũng là trường hợp đặc biệt của phân số Ai Cập. Người ta tin rằng mọi phân số đều biểu diễn được dưới dạng tổng của nhiều phân số Ai Cập. Bởi vậy, không cần đưa thêm những phân số có tử số khác 1 vào. Những phân số hay được sử dụng để biểu diễn nhất là những phân số Ai Cập mà mẫu số có nhiều ước số như 12, 24, 60, 36, 144... Có lẽ đó cũng là nguyên nhân hình thành đơn vị như: tá (12 giờ của nửa ngày, 12 chi trong chu kì lịch, 12 tháng của một năm), 24 giờ (trong một ngày), 60 giây (trong một phút), 60 phút (trong một giờ)... Lịch sử ghi nhận bài toán nổi tiếng có tên Bài toán phân số Ai Cập: “Mọi phân số có dạng 4/n (n là số tự nhiên lớn hơn 0) đều biểu diễn được thành tổng của không quá 4 phân số Ai Cập”. Bài toán này đến nay vẫn chưa ai giải được. Người ta viết một phân số bất kì dưới dạng liên phân số, sau khi có khái niệm phân số nghịch đảo. Chẳng hạn phân số 10/7 được viết thành 1 + 3/7. Viết nghịch đảo của 3/7 là 7/3 thành 2 + 1/3. Đến đây ta được 10/7 = 1 + 1/(2 + 1/3) hay kí hiệu liên phân số là (123). Đối với những phân số nhỏ hơn 1, chẳng hạn 2/7 thì phân số nghịch đảo là 7/2 được viết thành 3 + 1/2, ta có 2/7 = (0.32).

Trong Toán học, liên phân số rất quan trọng vì mọi số thực, từ số hữu tỷ (phân số) đến số vô tỷ hay những số khó hơn như số đại số, số siêu việt (chẳng hạn số pi)... ở Toán học hiện đại đều biểu diễn được dưới dạng liên phân số.

Cách đây khoảng 2.500 năm, người Ấn Độ đã biểu diễn các phân số giống như ngày nay, nghĩa là có tử số và mẫu số là những số tự nhiên lớn hơn 0.

Liên quan đến bài toán chia, có một bài toán thú vị là Định lý Pizza: Để chia một chiếc bánh Pizza hình tròn thành hai phần bằng nhau (về diện tích), người ta chỉ cần dùng dao chia hình tròn thành 8 phần bởi 4 nhát cắt cùng đi qua một điểm bên trong đường tròn và các nhát cắt tạo thành các góc bằng nhau là 45o. Sau đó lấy 4 mảnh không liền nhau thì sẽ được hai phần bằng nhau. Định lý Pizza vẫn đúng trong các trường hợp chia đôi hình tròn bởi 12, 16, 20... phần nhỏ.

Dành cho các bạn học sinh. Viết phân số 2011/1945 dưới dạng liên phân số. Năm phần quà đang chờ các bạn giải nhanh và đúng. Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi “Học mà chơi - chơi mà học” của Báo Hànộimới.