Bài toán ngày sinh nhật

Bài toán 1. Trong một câu lạc bộ toán học, sau khi thống kê ngày sinh nhật của các bạn tham gia, thầy giáo chủ nhiệm thấy: Không có hai bạn nam nào có sinh nhật cùng tháng; Không có hai bạn nữ nào có sinh nhật cùng thứ trong tuần. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia câu lạc bộ?

Giải. Vì mỗi năm có 12 tháng nên có nhiều nhất 12 bạn nam.

Vì mỗi tuần có 7 ngày nên có nhiều nhất 7 bạn nữ.

Ta có 12 + 7 = 19.

Đáp số: 19 bạn.

Bài toán 2. Hai anh em An và Bình có sinh nhật vào tháng ba và tháng năm. Vào tháng tư năm 2016, Bình cộng tuổi của mình với năm sinh của mình, tuổi của An với năm sinh của An. Hỏi Bình cộng được số nào?

Giải. Vào tháng tư năm 2016, An đã qua ngày sinh nhật trong năm 2016, còn Bình chưa tới ngày sinh nhật trong năm 2016.

Tổng tuổi của An với năm sinh của An là 2016.

Tổng tuổi của Bình với năm sinh của Bình là 2015.

Ta có 2015 + 2016 = 4031.

Đáp số: 4031.

Nhận xét. Nếu một bạn học sinh sinh năm 2006 thì qua sinh nhật ở năm 2016, bạn đó sẽ 10 tuổi. Tổng của năm sinh với tuổi của bạn đó là 2006 + 10 = 2016. Nếu chưa đến sinh nhật của bạn đó trong năm 2016 thì bạn đó 9 tuổi. Tổng của năm sinh với tuổi của bạn đó là 2006 + 9 = 2015.

Bài toán 3. Bạn Cường sinh năm 2008. Hỏi đến năm nào thì tuổi của bạn bằng đúng tổng các chữ số của năm sinh?

Giải. Tổng các chữ số của năm sinh là 2 + 0 + 0 + 8 = 10.

Ta có 2008 + 10 = 2018.

Đáp số: Năm 2018.

Nhận xét. Bài toán trên là bài toán xuôi, cho biết trước năm sinh. Bài toán sau đây là bài toán ngược, khó hơn.

Bài toán 4. An là một sinh viên đại học. Đến ngày sinh nhật của mình trong năm 2015, An nhận thấy tuổi của mình bằng đúng tổng các chữ số trong năm sinh của mình. An có một người cháu ít tuổi hơn cũng có đặc điểm trên. Tìm năm sinh của An và năm sinh của người cháu của An.

Giải. Nếu người sinh vào thế kỷ XXI thì năm sinh có dạng 20ab.

Ta có 20ab + 2 + 0 + a + b = 2015 hay 2000 + 10 × a + b + 2 + a + b = 2015.

Suy ra 11 × a + 2 × b = 13.

Vậy a = 1, b = 1.

Nếu người sinh vào thế kỷ XX thì năm sinh có dạng 19cd.

Ta có 19cd + 1 + 9 + c + d = 2015 hay 1900 + 10 × c + d + 10 + c + d = 2015.

Suy ra 11 × c + 2 × d = 105.

Vậy c = 9, d = 3.

Ta thấy trong năm 2015, người sinh năm 1993 sẽ 22 tuổi (1 + 9 + 9 + 3 = 22), còn người sinh năm 2011 sẽ 4 tuổi (2 + 0 + 1 + 1 = 4).

Vậy An sinh năm 1993, cháu của An sinh năm 2011.

Kết quả kỳ trước. Ta có F(7) = F(4) + F(5) + F(6) = 7 + 13 + 24= 44.

Đáp số: 44 cách. Trao giải cho các bạn Nguyễn Thùy Chi (số 9 Trần Đại Nghĩa), Lê Thảo Ngân (số 5 Lê Duẩn), Đỗ Linh Nga (34 Tôn Đức Thắng), Trần Phương Linh (193 Lò Đúc), Trương Minh Sơn (lớp 6A9, THCS Nghĩa Tân).

Kỳ này. Tương tự bài toán 4, thay năm 2015 bởi 2008. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.