Bài toán đếm số cách bước cầu thang (Kỳ 2)

Bài toán 1. Biết số bậc cầu thang là 3. Tìm số cách đi.

Giải. Có 4 cách đi tính theo số bậc mỗi bước là: 1 - 1 - 1, 1 - 2, 2 -1, 3.

Đáp số: 4 cách.

Bài toán 2. Biết số bậc cầu thang là 4. Tìm số cách đi.

Giải. Nếu lần đầu bước 1 bậc thì có 4 cách đi 3 bậc tiếp theo từ bậc 1 lên bậc 4 (theo bài toán 1).

Nếu lần đầu bước 2 bậc thì có 2 cách đi tiếp từ bậc 2 lên bậc 4 là: 1 - 1 hoặc 2.

Nếu lần đầu ta bước 3 bậc thì có 1 cách đi tiếp là bước 1 bậc.

Ta có 4 + 2 + 1 = 7.

Nhận xét. Ta có thể liệt kê các cách đi như sau: 1 - 1 - 1 - 1, 2 - 2, 1 - 3, 3 - 1, 1 - 1 - 2, 1 - 2 - 1, 2 - 1 - 1.

Đáp số: 7 cách.

Bài toán 3. Biết số bậc cầu thang là 5. Tìm số cách đi.

Giải. Nếu lần đầu bước 1 bậc thì có 7 cách đi 4 bậc tiếp theo từ bậc 1 lên bậc 5 (theo bài toán 2).

Nếu lần đầu bước 2 bậc thì số có 4 cách đi 3 bậc tiếp theo từ bậc 2 lên bậc 5 (theo bài toán 1).

Nếu lần đầu bước 3 bậc thì có 2 cách đi tiếp theo là: 1 - 1, 2.

Ta có 7 + 4 + 2 = 13.

Đáp số: 13 cách.

Bài toán 4. Biết số bậc cầu thang là 6. Tìm số cách đi.

Giải. Ký hiệu số cách đi n bậc cầu thang là F(n).

Ta có F(3) = 4, F(4) = 7, F(5) = 13.

Khi n > 5 thì F(n) bằng tổng của 3 cách đi trước nó: F(6) = F(3) +

F(4) + F(5) = 4 + 7 + 13 = 24.

Đáp số: 24 cách.

Bài toán 5. Ba bạn An, Bình và Cường cùng đi từ tầng hai xuống tầng một của một siêu thị bằng thang cuốn. Khi thang cuốn chuyển động, An bước xuống 6 bậc thang và thời gian đi thang cuốn hết 10 giây, còn Bình bước xuống 12 bậc thang và thời gian đi thang cuốn hết 8 giây. Biết thang cuốn có vận tốc không đổi và vận tốc bước chân của ba bạn bằng nhau.

a) Tính thời gian Cường đi từ tầng hai xuống tầng một khi bạn này đứng yên trên thang cuốn.

b) Tính số bậc thang cuốn.

c) Tính thời gian lớn nhất Cường đi từ tầng hai xuống tầng một khi thang cuốn mất điện.

Giải. Ta có 12 - 6 = 6, 10 - 8 = 2, 6 : 2 = 3.

Suy ra trong một giây, thang cuốn đi được 3 bậc.

a) Thời gian thang cuốn đi 6 bậc là 6 : 3 = 2 (giây).

Thời gian Cường đi từ tầng hai xuống tầng một khi không bước bậc nào là 2 + 10 = 12 (giây).

b) Tổng số bậc thang là 12 × 3 = 36.

c) Vận tốc bé nhất của Bình là 12 : 8 = 1,5 (bậc/giây).

Vì vận tốc của ba bạn bằng nhau nên thời gian lớn nhất Cường đi từ tầng hai xuống tầng một khi thang máy mất điện là 36 : 1,5 = 24 (giây).

Đáp số: a) 12 giây; b) 36 bậc; c) 24 giây.

Kết quả kỳ trước. Tổng số bậc thang là 9 × 4 = 36. Ta có 36 : 2 = 18, 36 : 3 = 12. Các số chia hết cho 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36.

Đáp số: a) 18, 12; b) 6, 12, 18, 24, 30, 36. Trao giải 50.000 đồng/người cho các bạn: Trần Thùy Dung (218 Khâm Thiên), Nguyễn Minh Ngọc (15/491 Kim Mã), Dương Thùy Dương (số 10 Trần Đại Nghĩa).

Kỳ này. Tương tự bài 4, thay bởi 7 bậc cầu thang. Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.